Atalhos de limites

Limite padrão (sin)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

Base de todos os limites trigonométricos.

Regra de L'Hôpital

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Use quando o limite for $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ .

Regras de derivação

Regra da potência

$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$

Funciona para qualquer expoente real.

Regra do produto

$(fg)' = f'g + fg'$

Duas funções multiplicadas — derive cada uma por vez.

Regra do quociente

$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Para razões; lembre a ordem $f'g$ antes de $fg'$ .

Regra da cadeia

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Externa primeiro, depois interna; a fonte de erros mais comum.

Derivadas comuns

sin

$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$

cos

$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$

Observe o sinal negativo.

e^x

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

A única função de ponto fixo.

ln x

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$

Domínio $x > 0$ .

Tabela de integrais

Regra da potência (integral)

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n \neq -1)$

Inversa da regra da potência da derivação.

1/x

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$

A exceção $n=-1$ à regra da potência.

sin / cos

$\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

Memorize os sinais — fácil de confundir.

Exponencial

$\int e^x\,dx = e^x + C$

Igual à sua derivada.

Séries de Taylor / Maclaurin

e^x

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Converge para todo $x$ real.

sin x

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Apenas potências ímpares.

cos x

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

Apenas potências pares.

Cálculo Formulas