식 간단히 하기 계산기

대수식을 간단히 한다는 것은 값을 바꾸지 않고 더 짧고, 깔끔하거나, 더 표준적인 형태로 다시 쓰는 것입니다. 간단히 한 형태는 읽기 쉽고, 계산하기 쉽고, 이후 계산에 사용하기 쉽습니다.

일반적인 간단히 하기 연산:

• 동류항 합치기: $3x + 5x = 8x$
• 공통 인수 약분하기: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$ ($x \neq -3$일 때)
• 지수 줄이기: $\frac{x^5}{x^2} = x^3$
• 전개하고 모으기: $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1$

간단히 한 식은 정의역 내의 모든 값에 대해 원래 식과 동치입니다. '가장 간단한 형태'는 맥락에 따라 다를 수 있다는 점에 유의하세요. 때로는 인수분해된 형태가 더 간단하고, 때로는 전개된 형태가 더 간단합니다.

간단히 하기는 방정식 풀이, 극한 계산, 함수 적분, 수학적 결과를 명확하게 전달하는 데 사용되는 핵심 대수 기술입니다.

1. 동류항 합치기

같은 변수와 지수를 가진 항을 묶은 다음 그 계수를 더합니다.

예: $3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 7 = 2x^2 + 7x - 7$

2. 지수 법칙 적용하기

핵심 법칙:

• $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$
• $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$
• $(x^a)^b = x^{ab}$

예: $\frac{x^5 \cdot x^2}{x^4} = x^{5+2-4} = x^3$

3. 인수분해하고 약분하기

유리식에서는 분자와 분모를 인수분해한 다음 공통 인수를 약분합니다.

예: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x - 3$ ($x \neq -3$일 때)

4. 곱 전개하기

분배 또는 특별한 공식을 사용합니다.

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

예: $(2x+3)^2 - 4x^2 = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 = 12x + 9$

5. 분모 유리화하기

켤레를 곱하여 분모에서 근호를 없앱니다.

$\frac{1}{\sqrt{x}+1} \cdot \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

6. 번분수 간단히 하기

분자와 분모에 모든 내부 분수의 LCD를 곱합니다.

• 인수 대신 항을 약분하는 것: $\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}$. 분자 전체와 분모 전체의 공통 인수만 약분할 수 있습니다.
• 정의역 제약을 잊는 것: $\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}$에서 $(x+3)$을 약분할 때, 원래 식에서 $x \neq -3$임에 유의하세요.
• 잘못된 지수 계산: $x^2 \cdot x^3 = x^5$이며 $x^6$이 아닙니다. 그리고 $\frac{x^5}{x^2} = x^3$이며 $x^{2.5}$가 아닙니다.
• 합에 지수를 분배하는 것: $(x + y)^2 \neq x^2 + y^2$. 올바른 전개는 $x^2 + 2xy + y^2$입니다.
• 너무 일찍 멈추는 것: 결과가 더 간단해질 수 있는지 항상 확인하세요(예: 남은 GCF 묶어내기).