인수분해 계산기

인수분해는 다항식을 인수라고 하는 더 간단한 식들의 곱으로 분해하는 과정입니다. 전개(곱하여 펼치기)의 역과정입니다.

예를 들어:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

왼쪽은 하나의 다항식이고, 오른쪽은 같은 식을 두 이항식의 곱으로 쓴 것입니다.

인수분해는 대수에서 필수적입니다. 다음을 가능하게 하기 때문입니다.

• 방정식 풀기: 각 인수를 0으로 두면 근이 나옵니다.
• 분수 간단히 하기: 유리식에서 공통 인수를 약분합니다.
• 거동 분석하기: 영점, 점근선, 부호 변화를 파악합니다.

다항식은 각 인수가 기약(정수 범위에서 더 이상 인수분해할 수 없음)일 때 완전히 인수분해되었다고 합니다. 대수학의 기본 정리는 차수가 $n$인 모든 다항식이 복소수 범위에서 정확히 $n$개의 일차 인수로 인수분해될 수 있음을 보장합니다.

일반적인 인수분해 유형:

• 최대공약수(GCF) 묶어내기
• 삼항식 인수분해
• 제곱의 차: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
• 세제곱의 합/차
• 묶어서 인수분해하기

주요 인수분해 기법을 가장 간단한 것부터 가장 고급인 것 순서로 소개합니다.

1. GCF 묶어내기

항상 최대공약수를 빼내는 것부터 시작합니다.

예: $6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x + 3)$

2. 제곱의 차

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

예: $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$

3. 완전제곱 삼항식

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

예: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

4. 삼항식 인수분해 ($x^2 + bx + c$)

$p + q = b$이고 $p \cdot q = c$인 두 수 $p$와 $q$를 찾습니다.

$x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$

예: $x^2 - 5x + 6$: $p + q = -5$이고 $pq = 6$을 찾습니다 → $p = -2, q = -3$

따라서 $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

5. AC 방법 ($a \neq 1$인 $ax^2 + bx + c$의 경우)

$a \cdot c$를 곱하고, 곱하면 $ac$, 더하면 $b$가 되는 두 수를 찾은 다음, 나누고 묶습니다.

예: $2x^2 + 7x + 3$: $ac = 6$, $1 + 6 = 7$을 찾습니다

• $2x^2 + x + 6x + 3 = x(2x+1) + 3(2x+1) = (x+3)(2x+1)$

6. 세제곱의 합/차

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

7. 묶어서 인수분해하기

항을 쌍으로 묶어 각 쌍을 인수분해한 다음 공통 이항식을 묶어냅니다.

• GCF를 먼저 묶어내는 것을 잊는 것: 다른 기법을 사용하기 전에 항상 공통 인수가 있는지 확인하세요.
• 제곱의 차와 합을 혼동하는 것: $a^2 - b^2$는 인수분해되지만 $a^2 + b^2$는 실수 범위에서 인수분해되지 않습니다.
• 삼항식 인수분해에서 부호 오류: $c > 0$이고 $b < 0$일 때 $p$와 $q$는 모두 음수입니다.
• 너무 일찍 멈추는 것: 각 인수가 더 인수분해될 수 있는지 확인하세요(예: $x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$).
• 전개하여 검증하지 않는 것: 항상 인수를 다시 곱해 원래 식과 같은지 확인하세요.