부등식 완전 해설: 일차, 복합, 이차

부등식은 한밤중에 당신을 깨우는 규칙에 도달하기 전까지는 방정식과 똑같아 보입니다: 음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향이 뒤집힙니다. 이 가이드는 숙제의 95% 를 푸는 패턴과 함께 일차, 복합, 이차 부등식을 안내합니다.

모두가 잊는 단 하나의 규칙

방정식에서는 모든 연산이 등식을 보존합니다. $5 = 5$ 는 $5 \cdot (-1) = 5 \cdot (-1)$ 을 의미합니다 — 양변을 똑같이 부호 반전해도 등식은 성립합니다.

부등식에서는 양변을 음수로 곱하거나 나누면 방향이 뒤집힙니다. $5 > 3$ 은 참이지만, 양변에 $-1$ 을 곱하면 $-5 > -3$ 이 되며 이는 거짓입니다. 올바른 식은 $-5 < -3$ 입니다.

이 단 하나의 규칙이 부등식 실수의 대부분의 원인입니다. 반사적으로 나올 때까지 머리에 새기세요:

• 무언가를 더하기/빼기 → 뒤집지 않음.
• 양수로 곱하기/나누기 → 뒤집지 않음.
• 음수로 곱하기/나누기 → 부등호를 뒤집음.

일차 부등식

부호 반전에 주의하면서 일차방정식을 풀듯이 풉니다.

예제 1: $3x + 5 > 14$.

• 5 를 뺌: $3x > 9$.
• $3$ 으로 나눔 (양수, 반전 없음): $x > 3$.
• 해집합: $(3, \infty)$ — 열린 괄호는 $x = 3$ 이 포함되지 않음을 뜻합니다.

예제 2 (반전 포함): $-2x + 7 \leq 1$.

• 7 을 뺌: $-2x \leq -6$.
• $-2$ 로 나눔 (음수 — 반전): $x \geq 3$.
• 해집합: $[3, \infty)$ — $\leq$ 이므로 대괄호, $3$ 포함.

복합 부등식

"복합" 부등식은 두 개의 단순 부등식을 그리고(AND) 또는 **또는(OR)**로 이은 것입니다.

그리고는 흔히 하나의 사슬로 쓰입니다: $-1 < 2x + 3 \leq 7$. 세 부분 모두에 동시에 연산합니다.

• 모든 곳에서 3 을 뺌: $-4 < 2x \leq 4$.
• 모든 곳을 2 로 나눔: $-2 < x \leq 2$.
• 해: $(-2, 2]$.

또는은 두 개의 별도 부등식으로 남습니다. 해는 각 해집합의 합집합입니다:

$x < -3$ 또는 $x > 5$ → 해 $(-\infty, -3) \cup (5, \infty)$.

이차 부등식

$x^2 + bx + c > 0$ (또는 $\neq 0$ 인 임의의 부등식)에 대해:

1. $x^2 + bx + c = 0$ 의 근을 구한다.
2. 수직선 위에 근을 찍는다 — 근이 수직선을 구간으로 나눕니다.
3. 각 구간에서 한 점을 대입해 그 구간에서 이차식이 양인지 음인지 확인한다.
4. 부등호 방향에 맞는 구간을 고른다.

예제: $x^2 - 5x + 6 > 0$.

• 인수분해: $(x - 2)(x - 3) > 0$. 근은 $x = 2$ 와 $x = 3$.
• 구간 테스트:
  • $x = 0$: $(0-2)(0-3) = 6 > 0$ ✓
  • $x = 2.5$: $(0.5)(-0.5) = -0.25 < 0$ ✗
  • $x = 4$: $(2)(1) = 2 > 0$ ✓
• 해: $(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

$\leq$ 나 $\geq$ 부등식에서는 근을 포함합니다 (닫힌 구간): $(-\infty, 2] \cup [3, \infty)$.

수직선 위에 해 그리기

• 포함되지 않는 값($<$ 또는 $>$)에는 빈 원 (○).
• 포함되는 값($\leq$ 또는 $\geq$)에는 채운 원 (●).
• 해의 방향으로 무한대까지 뻗는 화살표.

복합 그리고 → 두 원 사이의 구간. 복합 또는 → 바깥쪽으로 뻗는 두 개의 별도 반직선.

절댓값을 포함한 부등식

$|x - a| < b$ 는 $-b < x - a < b$, 즉 $a - b < x < a + b$ 로 풀립니다 — 유계 구간.

$|x - a| > b$ 는 $x - a < -b$ 또는 $x - a > b$, 즉 $x < a - b$ 또는 $x > a + b$ 로 풀립니다 — 바깥쪽으로 뻗는 두 반직선.

흔한 실수

1. 음수로 나눌 때 반전을 잊기. 부등식 오답의 가장 큰 원인입니다.
2. 끝점을 잘못 포함하기. $<$ 대 $\leq$ 는 중요합니다 — 괄호 종류가 그것에 달려 있습니다.
3. 복합 그리고를 등호처럼 다루기. $-2 < x < 5$ 는 하나의 식이며, "$x = -2$ 또는 $x = 5$" 로 쪼갤 수 없습니다.
4. 이차 부등식을 방정식처럼 풀기. $x^2 - 4 > 0$ 을 "0과 같다"고 두면 근 $\pm 2$ 가 나오지만, 부등식의 해는 $\{-2, 2\}$ 가 아니라 그 사이/주변의 구간입니다.

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관련 자료:

• 용어집: 부등식
• 용어집: 절댓값
• 이차방정식 계산기 — 부등식 버전과 함께 사용