방정식 풀이기

방정식은 $=$ 기호로 연결된 두 식이 같다고 주장하는 수학적 진술입니다.

$\text{left side} = \text{right side}$

방정식을 푼다는 것은 그 진술을 참으로 만드는 변수의 모든 값을 찾는 것입니다. 이 값들을 해 또는 근이라고 합니다.

방정식에는 여러 유형이 있습니다.

• 일차: $3x + 2 = 11$
• 이차: $x^2 - 4x + 3 = 0$
• 유리: $\frac{x+1}{x-2} = 3$
• 무리: $\sqrt{2x+1} = x - 1$
• 지수: $2^x = 32$
• 로그: $\log_2(x) = 5$
• 절댓값: $|3x - 2| = 7$
• 삼각: $\sin(x) = \frac{1}{2}$

이 범용 풀이기는 이 모든 유형과 그 이상을 처리하며, 방정식의 구조에 따라 적절한 방법을 선택합니다. 전용 풀이기(일차 전용 또는 이차 전용)와 달리, 이 도구는 방정식 유형을 식별하고 최선의 전략을 자동으로 적용합니다.

1. 유리방정식

양변에 최소공통분모(LCD)를 곱하고, 결과로 나온 다항식을 푼 다음, 무연근(분모를 0으로 만드는 값)을 확인합니다.

예: $\frac{x+1}{x-2} = 3$

1. 양변에 $(x-2)$를 곱합니다: $x + 1 = 3(x-2)$
2. $x + 1 = 3x - 6$ → $-2x = -7$ → $x = \frac{7}{2}$
3. 확인: $x = \frac{7}{2} \neq 2$ ✓

2. 무리방정식

근호를 분리한 다음 양변을 제곱(또는 적절한 거듭제곱)합니다. 항상 해를 검증합니다.

예: $\sqrt{2x+1} = x - 1$

1. 양변을 제곱합니다: $2x + 1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 정리합니다: $x^2 - 4x = 0$ → $x(x-4) = 0$ → $x = 0$ 또는 $x = 4$
3. $x = 0$ 확인: $\sqrt{1} = -1$? 아니요! 무연근.
4. $x = 4$ 확인: $\sqrt{9} = 3$ ✓

3. 지수방정식

밑을 맞출 수 있으면 지수를 같다고 둡니다. 그렇지 않으면 로그를 취합니다.

예: $2^x = 32 = 2^5$ → $x = 5$

4. 절댓값 방정식

두 경우로 나눕니다: 안쪽 식이 $+c$와 같거나 $-c$와 같습니다.

예: $|3x - 2| = 7$

• 경우 1: $3x - 2 = 7$ → $x = 3$
• 경우 2: $3x - 2 = -7$ → $x = -\frac{5}{3}$

5. 로그방정식

지수 형태로 변환하거나 로그의 성질을 사용해 합칩니다.

예: $\log_2(x) = 5$ → $x = 2^5 = 32$

• 무연근을 확인하지 않는 것: 양변을 제곱하거나 변수 식을 곱하면 거짓 해가 생길 수 있습니다. 항상 원래 방정식에 대입해 확인하세요.
• 정의역 제약을 잊는 것: 로그는 진수가 양수여야 하고, 제곱근은 근호 안이 음이 아니어야 하며, 분수는 분모가 0이 아니어야 합니다.
• 절댓값에서 해를 빠뜨리는 것: $|x| = 5$는 두 개의 해($x = 5$와 $x = -5$)를 가집니다. 음의 경우를 잊지 마세요.
• 로그/지수의 잘못된 조작: $\log(a+b) \neq \log(a) + \log(b)$. 합의 로그는 로그의 합이 아닙니다.
• 0인지 확인하지 않고 변수로 나누기: 양변을 $x$로 나누면 해 $x = 0$을 잃을 수 있습니다.