완전제곱식 계산기

완전제곱식 만들기는 이차식 $ax^2 + bx + c$를 다음과 같이 다시 쓰는 대수적 기법입니다.

$a(x - h)^2 + k$

여기서 $(h, k)$는 포물선의 꼭짓점입니다.

왜 중요한가:

• 포물선의 꼭짓점(최솟값/최댓값 점)을 한눈에 드러냅니다.
• 근의 공식 없이 모든 이차방정식을 풀 수 있습니다.
• 근의 공식을 유도하는 기반 기법입니다.
• 미적분에서 $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$를 계산하는 데 사용됩니다(arctan으로 환원).
• 가우스 적분과 물리학의 여러 주제를 이해하는 데 필수적입니다.

이를 가능하게 하는 핵심 항등식:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

경우 1: 최고차항 계수가 1

$x^2 + bx + c$의 경우:

1. $b$의 절반을 취해 제곱합니다: $(b/2)^2$.
2. 이 값을 더하고 뺍니다: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. 완전제곱을 묶습니다: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

예: $x^2 + 6x + 5$

• 6의 절반은 3. 제곱하면 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

꼭짓점 형태: $(x + 3)^2 - 4$, 꼭짓점은 $(-3, -4)$.

경우 2: 최고차항 계수가 1이 아님

$ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$의 경우:

1. 처음 두 항에서 $a$를 인수로 묶어냅니다: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. 괄호 안에서 완전제곱식을 만듭니다: $b/a$의 절반은 $b/(2a)$, 제곱하면 $b^2/(4a^2)$.
3. 안에서 더하고 뺍니다: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. 정리합니다: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

더한 항을 '되돌릴' 때, 안쪽이 $a$로 곱해져 있으므로 $a$를 곱한다는 점에 유의하세요.

이차방정식 풀기

$ax^2 + bx + c = 0$의 경우:

1. 완전제곱식을 만들어 $a(x - h)^2 + k = 0$을 얻습니다.
2. 제곱항을 분리합니다: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. 제곱근을 취합니다: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. 풉니다: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

이것은 본질적으로 근의 공식이 하나의 간결한 식으로 수행하는 것입니다.

• 균형 맞추기를 잊는 것: $(b/2)^2$를 더할 때는 그것을 빼기도 해야 합니다. 그렇지 않으면 식을 바꾼 것입니다.
• 계수 처리 오류: $a \neq 1$이면 완전제곱식을 만들기 전에 처음 두 항에서 $a$를 묶어내고, 다시 전개할 때 보정값에 $a$를 곱해야 합니다.
• $\pm$의 부호 오류: 제곱근을 취한 후 두 분기를 모두 유지해야 합니다. $\pm$를 빠뜨리면 해 하나를 잃습니다.
• $b$의 절반 vs $b/2a$: 최고차항 계수가 1일 때는 $b$의 절반을 취합니다. 그렇지 않을 때는 먼저 묶어낸 다음 새 계수의 절반을 취합니다.
• 상수 정리를 잊는 것: 완전제곱식을 만든 후 남은 상수를 하나의 $k$로 합칩니다.