급수 계산기

급수는 수열의 항의 합입니다. 무한급수는 다음 형태를 취합니다.

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

부분합은 $S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n$입니다. 부분합의 수열이 유한한 극한 $S$로 수렴하면, 급수가 수렴한다고 하며 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$입니다. 그렇지 않으면 급수는 발산합니다.

등비급수: 급수 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$은 $|r| < 1$일 때 $\frac{a}{1-r}$로 수렴합니다.

p-급수: 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$은 $p > 1$일 때 수렴하고 $p \leq 1$일 때 발산합니다.

멱급수: 수렴 반경 내에서 함수를 나타내는 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n$ 형태의 급수입니다.

테일러 급수: $x = a$ 주위에서의 $f(x)$의 멱급수 전개:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

$a = 0$일 때 이를 매클로린 급수라고 합니다.

발산 판정법 (제n항 판정법)

$\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$이면 급수는 발산합니다. 참고: 극한이 0이면 이 판정법은 결정적이지 않습니다.

비판정법

$L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$을 계산합니다.

• $L < 1$이면: 절대수렴
• $L > 1$이면: 발산
• $L = 1$이면: 결정적이지 않음

근판정법

$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$을 계산합니다. 비판정법과 동일한 결론 규칙을 따릅니다.

적분 판정법

$f(n) = a_n$이고 $f$가 $x \geq 1$에서 양수이고 연속이며 감소하면:
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 수렴} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ 수렴}$

비교 판정법

모든 $n$에 대해 $0 \leq a_n \leq b_n$이면:

• $\sum b_n$이 수렴하면 $\sum a_n$이 수렴
• $\sum a_n$이 발산하면 $\sum b_n$이 발산

교대급수 판정법 (라이프니츠 판정법)

교대급수 $\sum (-1)^n b_n$은 다음을 만족하면 수렴합니다.

1. 모든 $n$에 대해 $b_n > 0$
2. $b_n$이 감소
3. $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$

자주 쓰는 테일러/매클로린 급수

올바른 판정법 선택

• 발산 판정법 오용: $\lim a_n = 0$이라도 이는 수렴을 증명하지 않습니다. 조화급수 $\sum 1/n$은 $1/n \to 0$임에도 발산합니다.
• L = 1일 때 비판정법 적용: 비율 극한이 1과 같을 때 이 판정법은 정보를 주지 않습니다. 다른 판정법을 사용해야 합니다.
• 절대수렴과 조건수렴 혼동: 급수는 (교대 조화급수처럼) 절대수렴하지 않으면서 조건수렴할 수 있습니다.
• 잘못된 수렴 반경: 수렴 구간을 구할 때 끝점을 따로 확인하는 것을 잊지 마세요.
• 테일러 급수 나머지: 테일러 다항식은 근사일 뿐입니다; 유한 항의 경우, 정확도에 영향을 주는 경계를 가진 나머지 항이 있습니다.