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급수 계산기

단계별 풀이로 수렴을 분석하고, 합을 계산하며, 테일러/매클로린 급수를 전개합니다

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∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

급수란?

급수는 수열의 항의 합입니다. 무한급수는 다음 형태를 취합니다.

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

부분합은 SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n입니다. 부분합의 수열이 유한한 극한 SS로 수렴하면, 급수가 수렴한다고 하며 ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S입니다. 그렇지 않으면 급수는 발산합니다.

등비급수: 급수 ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n은 ∣r∣<1|r| < 1일 때 a1−r\frac{a}{1-r}로 수렴합니다.

p-급수: 급수 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}은 p>1p > 1일 때 수렴하고 p≤1p \leq 1일 때 발산합니다.

멱급수: 수렴 반경 내에서 함수를 나타내는 ∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n 형태의 급수입니다.

테일러 급수: x=ax = a 주위에서의 f(x)f(x)의 멱급수 전개:

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

a=0a = 0일 때 이를 매클로린 급수라고 합니다.

수렴을 판정하는 방법

발산 판정법 (제n항 판정법)

lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0이면 급수는 발산합니다. 참고: 극한이 0이면 이 판정법은 결정적이지 않습니다.

비판정법

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|을 계산합니다.

  • L<1L < 1이면: 절대수렴
  • L>1L > 1이면: 발산
  • L=1L = 1이면: 결정적이지 않음

근판정법

L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}을 계산합니다. 비판정법과 동일한 결론 규칙을 따릅니다.

적분 판정법

f(n)=anf(n) = a_n이고 ff가 x≥1x \geq 1에서 양수이고 연속이며 감소하면:
∑n=1∞an 수렴  ⟺  ∫1∞f(x) dx 수렴\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 수렴} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ 수렴}

비교 판정법

모든 nn에 대해 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n이면:

  • ∑bn\sum b_n이 수렴하면 ∑an\sum a_n이 수렴
  • ∑an\sum a_n이 발산하면 ∑bn\sum b_n이 발산

교대급수 판정법 (라이프니츠 판정법)

교대급수 ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n은 다음을 만족하면 수렴합니다.

  1. 모든 nn에 대해 bn>0b_n > 0
  2. bnb_n이 감소
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

자주 쓰는 테일러/매클로린 급수

함수매클로린 급수반경
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

올바른 판정법 선택

판정법적합한 경우핵심 지표
발산빠른 배제항이 명백히 0에 접근하지 않음
비계승, 지수항에 n!n! 또는 rnr^n
근n제곱an=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
적분단순 감소 함수an=f(n)a_n = f(n)이 쉽게 적분됨
비교항이 알려진 급수와 유사p-급수나 등비급수처럼 보임
교대부호가 교대하는 급수(−1)n(-1)^n 인자

피해야 할 흔한 실수

  • 발산 판정법 오용: lim⁡an=0\lim a_n = 0이라도 이는 수렴을 증명하지 않습니다. 조화급수 ∑1/n\sum 1/n은 1/n→01/n \to 0임에도 발산합니다.
  • L = 1일 때 비판정법 적용: 비율 극한이 1과 같을 때 이 판정법은 정보를 주지 않습니다. 다른 판정법을 사용해야 합니다.
  • 절대수렴과 조건수렴 혼동: 급수는 (교대 조화급수처럼) 절대수렴하지 않으면서 조건수렴할 수 있습니다.
  • 잘못된 수렴 반경: 수렴 구간을 구할 때 끝점을 따로 확인하는 것을 잊지 마세요.
  • 테일러 급수 나머지: 테일러 다항식은 근사일 뿐입니다; 유한 항의 경우, 정확도에 영향을 주는 경계를 가진 나머지 항이 있습니다.

Examples

Step 1: 비판정법 적용: an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1이므로 급수는 수렴합니다
Step 3: 합을 구하기 위해 x=12x = \frac{1}{2}로 공식 ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}를 사용: 1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: 등비급수에서 시작: ∣t∣<1|t| < 1에 대해 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n
Step 2: t=−x2t = -x^2 대입: 11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: 정리: ∣x∣<1|x| < 1에 대해 ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}, ∣x∣<1|x| < 1에서 유효

Step 1: 이것은 bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}}인 교대급수입니다
Step 2: 확인: bn>0b_n > 0 ✓, bnb_n이 감소 ✓, lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: 교대급수 판정법에 의해 급수는 수렴합니다 (∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}}이 p=1/2<1p = 1/2 < 1인 p-급수로서 발산하므로 조건수렴)
Answer: 급수는 조건수렴합니다

Frequently Asked Questions

급수는 더 많은 항을 더할수록 부분합이 유한한 수에 접근하면 수렴합니다. 부분합이 한없이 커지거나 값에 정착하지 않고 진동하면 발산합니다.

테일러 급수는 복잡한 함수를 다항식으로 근사하여 계산, 미분, 적분을 쉽게 만드는 데 사용됩니다. 특정 점 근처에서 함수를 근사하기 위해 물리학, 공학, 수치 해석에서 기본적입니다.

수렴 반경 R은 멱급수의 중심으로부터 급수가 수렴하는 거리입니다. |x - a| < R에서는 급수가 절대수렴하고, |x - a| > R에서는 발산하며, |x - a| = R에서는 끝점을 개별적으로 확인해야 합니다.

아니요. 조화급수, 즉 n=1부터 무한대까지 1/n의 합은 발산합니다. 항이 0에 접근하더라도 합이 유한하게 유지될 만큼 빠르게 감소하지 않습니다. 이는 항이 0으로 가는 것이 수렴에 필요하지만 충분하지 않음을 보여주는 고전적인 예입니다.

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