부등식 풀이기

부등식은 다음 기호 중 하나를 사용하여 두 식을 비교하는 수학적 진술입니다.

• $<$ (미만)
• $>$ (초과)
• $\leq$ (이하)
• $\geq$ (이상)

방정식("어떤 값이 양변을 같게 만드는가?"를 묻는)과 달리, 부등식은 "어떤 값이 한쪽을 다른 쪽보다 크게(또는 작게) 만드는가?"를 묻습니다.

예를 들어 부등식:

$2x - 5 > 3$

은 $x$의 어떤 값에서 $2x - 5$가 $3$보다 큰지를 묻습니다.

부등식의 해는 보통 하나의 수가 아니라 값의 범위(구간)입니다. 해는 흔히 구간 표기법으로 표현됩니다.

• $(a, b)$: $a$와 $b$ 사이의 모든 값(엄밀히)
• $[a, b]$: $a$부터 $b$까지의 모든 값, 양 끝 포함
• $(-\infty, a) \cup (b, \infty)$: $a$보다 작거나 $b$보다 큰 모든 값

부등식은 최적화, 제약 문제, 함수의 정의역과 치역을 결정하는 데 기본적입니다.

1. 일차부등식

일차방정식처럼 풀되, 한 가지 중요한 규칙이 있습니다: 음수로 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향을 뒤집습니다.

예: $2x - 5 > 3$을 풉니다

1. 5를 더합니다: $2x > 8$
2. 2로 나눕니다: $x > 4$

해: $(4, \infty)$

부호 뒤집기 예: $-3x + 6 \leq 12$를 풉니다

1. 6을 뺍니다: $-3x \leq 6$
2. $-3$으로 나눕니다(뒤집기!): $x \geq -2$

2. 이차부등식

먼저 대응하는 방정식을 풀고, 그다음 구간을 검사합니다.

예: $x^2 - 4x - 5 > 0$을 풉니다

1. 인수분해: $(x - 5)(x + 1) > 0$
2. 임계점: $x = -1$과 $x = 5$
3. 구간 검사:
   • $x < -1$: $(-)(-) = (+) > 0$ ✓
   • $-1 < x < 5$: $(-)(+) = (-) < 0$ ✗
   • $x > 5$: $(+)(+) = (+) > 0$ ✓

해: $(-\infty, -1) \cup (5, \infty)$

3. 유리부등식

분자와 분모가 0이 되는 곳(임계점)을 찾은 다음, 각 구간에서 부호를 검사합니다. 음수가 될 수 있는 식으로 양변을 곱하지 마세요.

4. 절댓값 부등식

• $|x| < a$는 $-a < x < a$를 의미합니다
• $|x| > a$는 $x < -a$ 또는 $x > a$를 의미합니다

5. 부호표 방법

다항/유리 부등식에서는 각 구간에서 각 인수의 부호를 보여주는 부호표를 만듭니다.

• 부등호 뒤집기를 잊는 것: 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향을 반대로 해야 합니다.
• 임계점을 잘못 포함하는 것: 엄밀한 부등식($<$, $>$)에서는 임계점을 포함하지 않습니다. $\leq$ 또는 $\geq$에서는 포함합니다.
• 부호를 고려하지 않고 변수로 곱하는 것: 양변에 $x$를 곱하면 $x > 0$과 $x < 0$인 경우를 따로 고려해야 합니다.
• 연립 부등식을 잘못 다루는 것: $a < f(x) < b$에서는 두 부분을 독립적으로가 아니라 동시에 풉니다.
• 잘못된 표기로 해를 쓰는 것: 엄밀한 부등식에는 소괄호를, 포함하는 부등식에는 대괄호를 사용합니다.