三角法計算機

三角方程式は、未知の角の三角関数（$\sin$、$\cos$、$\tan$ など）を含む方程式です。目標は、方程式を満たす角のすべての値を求めることです。

三角関数は周期的なので、ほとんどの三角方程式は無限に多くの解を持ちます。解はしばしば2つの形で表します。

1. 主要解：特定の区間（通常 $[0, 2\pi)$ または $[0°, 360°)$）の解
2. 一般解：すべての解で、$+ 2n\pi$（または $+ 360°n$）を使って書く（$n$ は任意の整数）

例えば、$\sin x = \frac{1}{2}$ は主要解 $x = \frac{\pi}{6}$ と $x = \frac{5\pi}{6}$、一般解 $x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ と $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ を持ちます。

三角方程式を解くのに使う主要な恒等式：

• ピタゴラス：$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
• 倍角：$\sin 2x = 2\sin x \cos x$、$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
• 和積・積和の公式

方法1：分離と逆関数

単純な方程式では、三角関数を分離して逆関数を適用します。

$\sin x = a \implies x = \arcsin(a) \text{ かつ } x = \pi - \arcsin(a)$

$\cos x = a \implies x = \pm \arccos(a)$

$\tan x = a \implies x = \arctan(a) + n\pi$

方法2：因数分解

方程式が因数分解できるとき：

$\sin^2 x - \sin x = 0 \implies \sin x(\sin x - 1) = 0$

よって $\sin x = 0$ または $\sin x = 1$ となり、$[0, 2\pi)$ で $x = 0, \pi, \frac{\pi}{2}$ となります。

方法3：恒等式を使って簡約する

恒等式を使って複雑な式を置き換えます。

例：$\cos 2x = \cos x$ を解く

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を使って：
$2\cos^2 x - 1 = \cos x$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

よって $\cos x = -\frac{1}{2}$ または $\cos x = 1$。

方法4：置換

複数の三角関数を持つ方程式では、$t = \sin x$ または $t = \cos x$ を置換します。

$2\sin^2 x + 3\cos x - 3 = 0$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を使って：$2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x - 3 = 0$ → $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$

方法5：両辺を2乗する（確認付き）

時に便利ですが、2乗が無縁根を導入しうるので、解を必ず検証してください。

基準角のまとめ

手法の比較

• 周期的な解を忘れる：$\sin x = 0.5$ は周期ごとに1つではなく2つの解を持ちます。関数が与えられた符号を持つすべての象限を常に考慮してください。
• 三角関数で割る：$\sin x$ や $\cos x$ で割ると、その関数がゼロになる解を失うことがあります。代わりに因数分解してください。
• 無縁解を確認しない：両辺を2乗するときは、必ず代入して検証してください。2乗は偽の解を導入しえます。
• 度とラジアンの混同：一貫性を確保してください。ほとんどの電卓やプログラミングの文脈で $\sin(30) \neq \sin(30°)$ です。
• 定義域の制限を無視する：$-1 \leq \sin x \leq 1$ なので $\sin x = 2$ には実数解がありません。