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級数計算機

step-by-step の解説付きで収束の解析、和の計算、テイラー／マクローリン級数展開を行います

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∑Math Input
sum of 1/n^2 from n=1 to infinity
does sum of (-1)^n / n converge?
Taylor series of sin(x) at x = 0
sum of (2/3)^n from n=0 to infinity

級数とは何か？

級数とは、数列の各項の和です。無限級数は次の形をとります。

∑n=1∞an=a1+a2+a3+⋯\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots

部分和は SN=∑n=1NanS_N = \sum_{n=1}^{N} a_n です。部分和の数列が有限の極限 SS に収束するとき、その級数は収束するといい、∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S となります。そうでなければ、級数は発散します。

等比級数：級数 ∑n=0∞arn\sum_{n=0}^{\infty} ar^n は ∣r∣<1|r| < 1 のとき a1−r\frac{a}{1-r} に収束します。

p 級数：級数 ∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} は p>1p > 1 のとき収束し、p≤1p \leq 1 のとき発散します。

べき級数：∑n=0∞cn(x−a)n\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - a)^n の形の級数で、収束半径内で関数を表します。

テイラー級数：x=ax = a のまわりでの f(x)f(x) のべき級数展開：

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)nf(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

a=0a = 0 のとき、これをマクローリン級数といいます。

収束の判定方法

発散判定法（第 n 項判定法）

lim⁡n→∞an≠0\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 ならば、級数は発散します。注意：極限が 0 の場合、この判定法では結論が出ません。

比判定法

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| を計算します。

  • L<1L < 1 のとき：絶対収束する
  • L>1L > 1 のとき：発散する
  • L=1L = 1 のとき：判定不能

根判定法

L=lim⁡n→∞∣an∣nL = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} を計算します。比判定法と同じ結論の規則です。

積分判定法

f(n)=anf(n) = a_n で、ff が x≥1x \geq 1 で正・連続・減少のとき：
∑n=1∞an が収束  ⟺  ∫1∞f(x) dx が収束\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ が収束} \iff \int_1^{\infty} f(x)\,dx \text{ が収束}

比較判定法

すべての nn で 0≤an≤bn0 \leq a_n \leq b_n のとき：

  • ∑bn\sum b_n が収束すれば、∑an\sum a_n も収束する
  • ∑an\sum a_n が発散すれば、∑bn\sum b_n も発散する

交項級数判定法（ライプニッツの判定法）

交項級数 ∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n は次の条件で収束します。

  1. すべての nn で bn>0b_n > 0
  2. bnb_n が減少
  3. lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0

よく使うテイラー／マクローリン級数

関数マクローリン級数収束半径
exe^x∑n=0∞xnn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}∞\infty
sin⁡x\sin x∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}∞\infty
cos⁡x\cos x∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}∞\infty
11−x\frac{1}{1-x}∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n11
ln⁡(1+x)\ln(1+x)∑n=1∞(−1)n+1xnn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}11

適切な判定法の選び方

判定法適した場面主な目印
発散判定素早い除外各項が明らかに 0 に近づかない
比判定階乗、指数各項に n!n! または rnr^n がある
根判定n 乗an=[f(n)]na_n = [f(n)]^n
積分判定単純な減少関数an=f(n)a_n = f(n) が容易に積分できる
比較判定既知の級数に似た項p 級数や等比級数に似ている
交項符号が交互の級数(−1)n(-1)^n の因子

よくある間違い

  • 発散判定法の誤用：lim⁡an=0\lim a_n = 0 でも収束は証明されません。調和級数 ∑1/n\sum 1/n は 1/n→01/n \to 0 でも発散します。
  • L = 1 のときに比判定法を適用する：比の極限が 1 のとき、この判定法は何の情報も与えません。別の判定法を使う必要があります。
  • 絶対収束と条件収束の混同：級数は絶対収束せずに条件収束する（交項調和級数のように）ことがあります。
  • 誤った収束半径：収束区間を求めるときは、端点を別々に確認することを忘れないでください。
  • テイラー級数の剰余項：テイラー多項式はあくまで近似です。有限項の場合、その精度に影響する剰余項が存在します。

Examples

Step 1: 比判定法を適用：an+1an=(n+1)/2n+1n/2n=n+12n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n} = \frac{n+1}{2n}
Step 2: L=lim⁡n→∞n+12n=12<1L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2} < 1 なので、級数は収束する
Step 3: 和を求めるには、公式 ∑n=1∞nxn=x(1−x)2\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} に x=12x = \frac{1}{2} を代入：1/2(1/2)2=2\frac{1/2}{(1/2)^2} = 2
Answer: 22

Step 1: 等比級数から始める：∣t∣<1|t| < 1 のとき 11−t=∑n=0∞tn\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n
Step 2: t=−x2t = -x^2 を代入：11+x2=11−(−x2)=∑n=0∞(−x2)n\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n
Step 3: 整理：∣x∣<1|x| < 1 のとき ∑n=0∞(−1)nx2n=1−x2+x4−x6+⋯\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots
Answer: ∑n=0∞(−1)nx2n\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}、∣x∣<1|x| < 1 で有効

Step 1: これは bn=1nb_n = \frac{1}{\sqrt{n}} の交項級数である
Step 2: 確認：bn>0b_n > 0 ✓、bnb_n は減少 ✓、lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0 ✓
Step 3: 交項級数判定法により、級数は収束する（∑1n\sum \frac{1}{\sqrt{n}} は p=1/2<1p = 1/2 < 1 の p 級数として発散するので、条件収束）
Answer: 級数は条件収束する

Frequently Asked Questions

級数は、項を増やしていくと部分和が有限の数に近づく場合に収束します。部分和が限りなく大きくなったり、ある値に落ち着かずに振動したりする場合は発散します。

テイラー級数は、複雑な関数を多項式で近似するために使われ、計算、微分、積分を容易にします。物理学、工学、数値解析において、特定の点の近くで関数を近似するための基本的な道具です。

収束半径 R は、べき級数の中心からその内側で級数が収束する距離です。|x - a| < R で級数は絶対収束し、|x - a| > R で発散し、|x - a| = R では端点を個別に確認する必要があります。

いいえ。調和級数、すなわち n=1 から無限大までの 1/n の和は発散します。各項が 0 に近づくにもかかわらず、和が有限のままになるほど速く減少しないのです。これは、項が 0 に向かうことは収束に必要だが十分ではないことを示す古典的な例です。

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