0.645, 0.656, 0.652 の標準偏差を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平均を求める。 足して $3$ で割る。

   $\bar x=\frac{0.645+0.656+0.652}{3}=\frac{1.953}{3}=0.651$

   平均がきっかり出るので、偏差も読み取りやすくなる。

2. 2

   平均からの偏差を求める。

   $0.645-0.651=-0.006,\qquad 0.656-0.651=0.005,\qquad 0.652-0.651=0.001$

   合計は $-0.006+0.005+0.001=0$ である。これは常に成り立つので、平均の検算がただで手に入る。

3. 3

   2 乗して足す。

   $(-0.006)^2=3.6\times 10^{-5},\quad (0.005)^2=2.5\times 10^{-5},\quad (0.001)^2=1\times 10^{-6}$

   $\sum\left(x_i-\bar x\right)^2=6.2\times 10^{-5}$

4. 4

   割る——正しい分母を選ぶ。 答えを変えるのはこの判断である。3 つの測定値を標本とみなすなら $n-1=2$ で、母集団全体とみなすなら $n=3$ で割る。

   $s^2=\frac{6.2\times 10^{-5}}{2}=3.1\times 10^{-5},\qquad \sigma^2=\frac{6.2\times 10^{-5}}{3}=2.0667\times 10^{-5}$

   $n$ がこれほど小さいと 2 つは目立って違ってくる——標準偏差にして約 $22\%$ の差である。

5. 5

   平方根をとって解釈する。

   $s=\sqrt{3.1\times 10^{-5}}\approx 0.005568,\qquad \sigma=\sqrt{2.0667\times 10^{-5}}\approx 0.004546$

   1 つの量を繰り返し測定した 3 つの値はふつう標本として扱うので、報告すべきなのは通常 $s\approx 0.00557$ である。妥当性の確認としては、データの広がりが $0.656-0.645=0.011$ であり、$n=3$ では標準偏差がその半分程度になるのが典型的である $\checkmark$。