平均 55、標準偏差 10 の正規分布に従う X について P(X > 58.253) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   境界値を標準化する。

   $z=\frac{58.253-55}{10}=\frac{3.253}{10}=0.3253$

   この値は平均より標準偏差の 3 分の 1 ほど上にすぎないので、上側の裾は $0.5$ を少し下回るはずである。

2. 2

   「〜より大きい」を累積面積に直す。 標準正規分布表は左側の面積を与えるので、余事象を使う。

   $P(X>58.253)=P(Z>0.3253)=1-\Phi(0.3253)$

   この引き算を忘れて $\Phi(z)$ そのものを答えてしまうのが、上側確率の問題でいちばん多い誤りである。

3. 3

   $\Phi$ を求める。

   $\Phi(0.3253)=0.62752$

   したがって

   $P(X>58.253)=1-0.62752=0.37248$

4. 4

   丸めて答える。

   $P(X>58.253)\approx 0.3725\quad\text{（およそ }37.25\%\text{）}$

5. 5

   目印になる値と照合する。 $z=0$ での上側の裾はちょうど $0.5$、$z=0.5$ では $0.3085$ である。$0.3253$ は $0$ と $0.5$ の間にあるので、答えは $0.3085$ と $0.5$ の間になければならない——$0.3725$ はその通りである $\checkmark$。対称性から $P(X<51.747)$ も同じ $0.3725$ になる。