平均 55、標準偏差 10 の正規分布に従う X について P(X < 40.851) を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   値を $z$ 得点に標準化する。 $z$ 得点は、その値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表す。

   $z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{40.851-55}{10}=\frac{-14.149}{10}=-1.4149$

   負の符号は $40.851$ が平均より下にあることを示しており、したがって確率は $0.5$ より小さくなるはずである——最終的な答えをその場で点検できる。

2. 2

   問いを標準正規分布の面積に翻訳する。 標準化は確率を保つので

   $P(X<40.851)=P(Z<-1.4149)=\Phi(-1.4149)$

   となる。ここで $\Phi$ は標準正規分布の累積分布関数である。

3. 3

   累積確率を求める。 誤差関数を使うと $\Phi(z)=\tfrac12\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$ なので

   $\Phi(-1.4149)=0.078549$

   となる。印刷された表からなら $\Phi(-1.41)=0.0793$ と $\Phi(-1.42)=0.0778$ の間を補間して $0.0793-0.49(0.0015)=0.07857$ が得られ、厳密値に近い。差は表の丸めによるものである。

4. 4

   答えを述べる。

   $P(X<40.851)\approx 0.0785\quad\text{（およそ }7.85\%\text{）}$

5. 5

   結果の妥当性を確かめる。 $z$ が $-1.41$ というのは、下位 $5\%$ の目安である $-1.645$ よりは内側、下位 $10\%$ の目安である $-1.28$ よりは外側にある。したがって裾の面積は $5\%$ と $10\%$ の間になければならない——$7.85\%$ はその通りである $\checkmark$。対称性から $P(X>69.149)$ もまったく同じ値になる。