2.9, 2.5, 2.9 の標準偏差を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平均を分数のまま求める。 3 つのうち 2 つが同じ値である。

   $\bar x=\frac{2.9+2.5+2.9}{3}=\frac{8.3}{3}=2.7\overline{6}\approx 2.76667$

   平均が循環するので、2 乗する前に $2.77$ と丸めてしまうと答えが目に見えて狂う。少なくとも 5 桁は保つか、$\tfrac{83}{30}$ のまま扱うこと。

2. 2

   偏差を求める。

   $2.9-\frac{83}{30}=\frac{87-83}{30}=\frac{4}{30}=0.13\overline{3}\quad(\text{2 回}),\qquad 2.5-\frac{83}{30}=\frac{75-83}{30}=-\frac{8}{30}=-0.26\overline{6}$

   合計は $\tfrac{4+4-8}{30}=0\;\checkmark$ である。

3. 3

   分数のまま 2 乗して足す。

   $2\left(\frac{4}{30}\right)^2+\left(\frac{8}{30}\right)^2=\frac{32+64}{900}=\frac{96}{900}=\frac{8}{75}\approx 0.106667$

4. 4

   $n-1$ で割るか $n$ で割るか。

   $s^2=\frac{8/75}{2}=\frac{4}{75}\approx 0.053333,\qquad \sigma^2=\frac{8/75}{3}=\frac{8}{225}\approx 0.035556$

5. 5

   平方根をとる。

   $s=\sqrt{\frac{4}{75}}=\frac{2}{\sqrt{75}}\approx 0.23094,\qquad \sigma=\sqrt{\frac{8}{225}}=\frac{2\sqrt2}{15}\approx 0.18856$

   標本として扱うなら $s\approx 0.231$、母集団全体として扱うなら $\sigma\approx 0.189$ と報告する。検算としては、範囲が $2.9-2.5=0.4$ であり、どちらの値も余裕をもってそれを下回っている $\checkmark$。