4, 8, 6, 5, 3 の標準偏差を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず平均を求める——以降のすべての手順がこれに依存する。

   $\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2$

   5 つの整数でも平均は整数にならないので、$5$ に丸めず $5.2$ のまま厳密に保つ。ここで丸めると偏差の 2 乗がすべて狂ってしまう。

2. 2

   平均からの偏差をそれぞれ 2 乗する。 偏差は負にもなり得るが、2 乗によって符号が消え、互いに打ち消し合わなくなる。

   $(4-5.2)^2 = 1.44, \quad (8-5.2)^2 = 7.84, \quad (6-5.2)^2 = 0.64$

   $(5-5.2)^2 = 0.04, \quad (3-5.2)^2 = 4.84$

3. 3

   足して平方和を求める。

   $\sum (x - \bar{x})^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8$

   手早い検算としては、2 乗する前の偏差 $-1.2, 2.8, 0.8, -0.2, -2.2$ の合計が $0$ になること。平均が正しければ必ずそうなる。

4. 4

   割る数を決める：n か n − 1 か。 この 5 つを母集団全体とみなすなら $n = 5$ で割り、より大きな母集団から取られた標本とみなすなら $n - 1 = 4$ で割る（ベッセル補正。同じデータから平均を推定していることを補う）。

   $\sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96, \qquad s^2 = \frac{14.8}{4} = 3.7$

5. 5

   平方根をとる。

   $\sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72, \qquad s = \sqrt{3.7} \approx 1.92$

   この程度の短いデータでは 2 つの答えが目立って違うので、どちらの流儀を使ったかを明示すること。5 個すべてが揃った一覧に対する断りのない教科書の問題では、たいてい母集団の値 $1.72$ が求められている。