データ A は 6, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 18 で、平均は 12 である。母標準偏差を求めよ。

Step-by-step solution

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   述べられている平均を鵜呑みにせず確認する。 $17$ 個の値の合計は

   $\sum x = 204, \qquad \bar{x} = \frac{204}{17} = 12$

   であり、平均は確かにちょうど $12$ である。これは重要である。平均が整数なら偏差もすべて整数になり、計算全体を丸めなしで進められる。

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   偏差の平方を表にする。 同じ値をまとめると

   $6 \rightarrow (-6)^2 = 36, \qquad 10 \ (\times 2) \rightarrow 4 \text{ ずつ}, \qquad 11 \ (\times 3) \rightarrow 1 \text{ ずつ}$

   $12 \ (\times 5) \rightarrow 0, \qquad 13 \ (\times 3) \rightarrow 1, \qquad 14 \ (\times 2) \rightarrow 4, \qquad 18 \rightarrow 36$

   となる。

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   足し合わせる。

   $\sum (x - 12)^2 = 36 + 2(4) + 3(1) + 0 + 3(1) + 2(4) + 36 = 94$

   両端の $6$ と $18$ だけで $94$ のうち $72$ を占めている——ばらつき全体の 4 分の 3 以上が、17 個のうちわずか 2 個から来ている。

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   母分散を得るために n で割る。

   $\sigma^2 = \frac{94}{17} \approx 5.5294$

   ここでは $n - 1$ ではなく $n = 17$ を使う。設問がより大きな集団からの標本ではなく、データ全体を指しているからである。

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   平方根を取る。

   $\sigma = \sqrt{5.5294} \approx 2.35$

   比較のために挙げると、標本標準偏差なら $s = \sqrt{94/16} \approx 2.42$ になる。ここでの文言に合うのは母集団としての値 $2.35$ である。