60 枚のデッキに印のついたカードが 9 枚ある。無作為に非復元で 3 枚引くとき、少なくとも 1 枚に印がついている確率はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   場合分けではなく余事象を使う。 「少なくとも 1 枚が印つき」は印つきが 1 枚、2 枚、3 枚の場合を含む。その余事象は「印つきが 1 枚もない」というただ 1 つの事象なので

   $P(\text{少なくとも 1 枚})=1-P(\text{1 枚もない})$

   となる。少なくとも 1 つを問う設問では常にこちらのほうが安上がりである。

2. 2

   3 枚の引き方の総数を数える。 順序は問わないので

   $\binom{60}{3}=\frac{60\times59\times58}{3\times2\times1}=34220$

   である。

3. 3

   印つきを 1 枚も含まない引き方を数える。 3 枚とも $51$ 枚の印なしから来なければならない。

   $\binom{51}{3}=\frac{51\times50\times49}{3\times2\times1}=20825$

4. 4

   余事象の確率を作る。

   $P(\text{1 枚もない})=\frac{20825}{34220}=0.60856\ldots$

   したがって

   $P(\text{少なくとも 1 枚})=1-\frac{20825}{34220}=\frac{34220-20825}{34220}=\frac{13395}{34220}$

   となる。約分すると $\tfrac{2679}{6844}$ である。

5. 5

   百分率に直す。

   $\frac{13395}{34220}=0.391438\ldots\approx39.14\%$

6. 6

   もっと簡単な見積もりと突き合わせる。 1 回の引きで印つきに当たる確率は $\tfrac{9}{60}=15\%$ である。ほぼ独立な 3 回の引きで 3 回とも外す確率はおよそ $0.85^3=0.614$ なので、当たる確率はおよそ $38.6\%$ となり、厳密な $39.14\%$ に非常に近い。わずかな差は非復元で引いていることから来る ✓。

7. 7

   初手が影響しない理由に触れる。 すでに 5 枚が伏せて配られて無視されていたとしても、そのあとに引く 3 枚はもとの $60$ 枚から一様無作為に選ばれた 3 枚の部分集合のままなので、同じ計算がそのまま当てはまる。