独立な 2 つの事象の確率がそれぞれ 73% である。組み合わせた確率はいくらか。

Step-by-step solution

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   設問が曖昧であることに気づき、それを明言する。 「組み合わせた」は、両方の事象が起こる意味にも、少なくとも一方が起こる意味にも取れる。この 2 つは別の値であり、ここではその差が $40$ ポイント近くある——だから計算に入る前に解釈を確定させなければならない。ただし、2 つを足すという意味にだけは決してならない。$73\%+73\%=146\%$ は、確率が $1$ を超えられない以上ありえないからである。

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   解釈 1——両方の事象が起こる場合。 独立な事象では確率どうしを掛ける：

   $P(A\text{ かつ }B)=P(A)\times P(B)=0.73\times0.73=0.5329=53.29\%$

   2 つのことが同時に成り立つよう要求するのは、片方だけを要求するより必ず厳しいので、答えは $73\%$ より小さくなければならない ✓。

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   解釈 2——少なくとも一方が起こる場合。 余事象を使う。「少なくとも一方」が成り立たないのは両方が起こらないときだけで、各事象が起こらない確率は $1-0.73=0.27$ である：

   $P(\text{どちらも起こらない})=0.27\times0.27=0.0729$

   $P(\text{少なくとも一方})=1-0.0729=0.9271=92.71\%$

   2 つのうち一方でよいと要求するのは、片方だけを要求するより易しいので、これは $73\%$ を超えるはずである ✓。

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   2 つの答えを互いに突き合わせる。 排反な 4 つの結果の確率は合計 $1$ にならなければならない。両方 $=0.5329$、1 つ目だけ $=0.73\times0.27=0.1971$、2 つ目だけ $=0.1971$、どちらも起こらない $=0.0729$。足すと $0.5329+0.1971+0.1971+0.0729=1.0000$ ✓。ここから、ちょうど一方だけが起こる確率が $0.3942=39.42\%$ であることも分かる。

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   独立性がどこで効いているかを押さえる。 どちらの式も、2 つの事象が互いに影響し合わないことを前提にしている。もし完全に相関していれば「両方」は $73\%$ になり、「少なくとも一方」も $73\%$ になる。互いに排反なら「両方」は $0$ である。独立性は既定値ではなく、明示すべき仮定である。

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   2 つの答えをまとめる。 両方が起こる：$\mathbf{53.29\%}$。少なくとも一方が起こる：$\mathbf{92.71\%}$。以上の数値はすべて計算し直し、4 つの結果の確率の和がちょうど $1$ になることも確認した ✓。