箱に赤玉 6 個と青玉 6 個が入っている。無作為に非復元で 6 個取り出すとき、少なくとも 1 個が青玉である確率はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   すぐに余事象へ切り替える。 「少なくとも 1 個は青」を直接扱うと、青がちょうど $1,2,3,4,5,6$ 個の場合を 6 通り数えることになる。その余事象は青が 0 個というただ 1 つの場合である。そこで

   $P(\text{少なくとも 1 個は青})=1-P(\text{青が 0 個})$

   を使う。

2. 2

   標本空間を数える。 玉は $6+6=12$ 個あり順序は問わないので、6 個の選び方の総数は

   $\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=924$

   である。

3. 3

   余事象に該当する場合の数を数える。 「青が 0 個」とは取り出した 6 個がすべて赤ということであり、赤玉はちょうど $6$ 個しかないので、唯一の方法は赤玉を全部取ることである。

   $\binom{6}{6}=1$

   答えが $1$ に極めて近くなるのはこのためである。$924$ 通りのうち都合の悪い選び方が 1 通りしかない。

4. 4

   確率を組み立てる。

   $P(\text{青が 0 個})=\frac{1}{924},\qquad P(\text{少なくとも 1 個は青})=1-\frac{1}{924}=\frac{923}{924}$

5. 5

   小数に直して妥当性を確かめる。 $\dfrac{923}{924}=0.998918\ldots\approx99.89\%$ である。もっともな値である。箱の半分を引きながら青玉 6 個をすべて避けるには、赤だけを引くただ 1 つの完璧な引き方が必要なのだから、ほぼ確実になるのは当然である ✓。

6. 6

   直接足し上げて検算する。 青が $1$ 個から $6$ 個までの超幾何確率を足すと $\frac{36+225+400+225+36+1}{924}=\frac{923}{924}$ となり、余事象による結果と一致する ✓。