確率計算機

確率は、事象が起こる可能性の高さを測ります。$0$ と $1$ の間（同等に $0\%$ から $100\%$）の数で表されます。

$P(A) = \frac{\text{好ましい結果の数}}{\text{起こりうるすべての結果の数}}$

重要な概念

• 標本空間 $S$：起こりうるすべての結果の集合
• 事象 $A$：標本空間の部分集合
• 余事象 $A'$：$A$ が起こらない事象。$P(A') = 1 - P(A)$

確率の種類

• 理論的確率：等しく起こりうる結果についての推論に基づく（例：公正なコインは $P(\text{表}) = \frac{1}{2}$）
• 経験的確率：実験から観測された頻度に基づく
• 主観的確率：個人の判断や専門知識に基づく

確率の規則

• 任意の事象 $A$ について $0 \le P(A) \le 1$
• $P(S) = 1$（何かは必ず起こる）
• $P(\emptyset) = 0$（不可能な事象）

基本確率

等しく起こりうる結果について：

$P(A) = \frac{|A|}{|S|} = \frac{\text{好ましい結果}}{\text{すべての結果}}$

加法定理（OR）

事象 $A$ または事象 $B$ が起こる確率について：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$A$ と $B$ が排反（同時に起こりえない）なら：

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

乗法定理（AND）

事象 $A$ かつ事象 $B$ がともに起こる確率について：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

$A$ と $B$ が独立なら：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

条件付き確率

$B$ が起こったという条件のもとでの $A$ の確率：

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

二項確率

各回の確率が $p$ の $n$ 回の独立試行でちょうど $k$ 回成功する確率：

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

まとめ表

• 独立でない事象を独立と仮定する — 戻さずにカードを引くと、各回の後で確率が変わります。
• 加法定理で重なりを引き忘れる — 事象が同時に起こりうるとき、二重計算を避けるため $P(A \cap B)$ を引かなければなりません。
• 「かつ」と「または」を混同する — 「かつ」は両方の事象が起こる（独立事象では確率を掛ける）、「または」は少なくとも1つが起こる（確率を足す）ことを意味します。
• 標本空間のすべての起こりうる結果を考慮しない — 特に組合せや順列で、総数を正しく数えることを確認してください。
• 条件付き確率の向きを混同する — $P(A|B)$ は $P(B|A)$ と同じではありません。