箱に赤玉 5 個と青玉 7 個が入っている。無作為に非復元で 5 個取り出すとき、少なくとも 1 個が青玉である確率はいくらか。

Step-by-step solution

1. 1

   標本空間を数える。 玉は $5+7=12$ 個あり、取り出しは順序を問わない非復元なので、同様に確からしい選び方の総数は $\binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5!}=\frac{95040}{120}=792.$ である。

2. 2

   場合を足す代わりに余事象へ切り替える。 「少なくとも 1 個は青」を直接扱うと青の個数 $1,2,3,4,5$ を足し上げることになり、項が 5 つ必要になる。その余事象は「青が 0 個」、すなわち取り出した 5 個がすべて赤という 1 つの事象だけなので、余事象の法則 $P(\text{少なくとも 1 個は青})=1-P(\text{青が 0 個})$ を使えば 5 回の計算が 1 回で済む。

3. 3

   すべて赤になる選び方を数える。 赤玉はちょうど $5$ 個しかないので、赤を $5$ 個引くとは赤玉を全部取ることに等しい。$\binom{5}{5}\binom{7}{0}=1\cdot 1=1.$ ここで余事象がこれほど小さくなるのはそのためである——青を完全に避ける方法は 1 通りしかない。

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   確率を組み立てる。 $P(\text{青が 0 個})=\frac{1}{792},\qquad P(\text{少なくとも 1 個は青})=1-\frac{1}{792}=\frac{792-1}{792}=\frac{791}{792}.$

5. 5

   数値の意味を読む。 $\tfrac{791}{792}=0.998737\ldots\approx 99.87\%$ である。直感とも合う。青のほうが赤より多く、しかも箱の半分近くを取るのだから、青をまったく引かないのはほぼ不可能である。