ある数学のクラスで、生徒の半数が学力テストで 92 点を取った。数名が 54 点を取ったほかは、残りの生徒は 73 点だった。この分布について正しいのはどれか。

Step-by-step solution

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   人数を導入する。 クラスの人数を偶数 $N$ とすると、$\tfrac{N}{2}$ 人が $92$ 点、$k \ge 1$ 人が $54$ 点、$\tfrac{N}{2} - k$ 人が $73$ 点である。「数名」を未知数 $k$ として扱えば、この語をどう読んでも議論は成り立つ。

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   中央値を求める。 昇順に並べると最初の $k$ 個が $54$、次の $\tfrac{N}{2} - k$ 個が $73$、上位の $\tfrac{N}{2}$ 個が $92$ である。したがって $\tfrac{N}{2}$ 番目は $73$、$\tfrac{N}{2}+1$ 番目は $92$ なので

   $\text{中央値} = \frac{73 + 92}{2} = 82.5$

   となり、やはり $k$ に依存しない。

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   平均を計算する。

   $\text{平均} = \frac{92\cdot\tfrac{N}{2} + 54k + 73\left(\tfrac{N}{2} - k\right)}{N} = \frac{82.5N - 19k}{N} = 82.5 - \frac{19k}{N}$

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   2 つを比べる。 $k \ge 1$ なので補正項 $-\tfrac{19k}{N}$ は厳密に負である。

   $\text{平均} = 82.5 - \frac{19k}{N} < 82.5 = \text{中央値}$

   この分布は左に歪んでいる——大多数よりはるかに下に位置する小さな裾が、中央値を動かさずに平均だけを引き下げる。選択肢 C が正しい。

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   他の選択肢を確かめる。 B は平均が厳密に $82.5$ を下回るので誤り。D は不等号の向きが逆である。A も誤りで、最頻値は $92$（クラスの半数）、平均はたかだか $82.5$ なので、平均は最頻値より大きいのではなく小さい。

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   数値で検証する。 $N = 20$、$k = 3$ の場合、$92$ が 10 人、$54$ が 3 人、$73$ が 7 人で平均は $\tfrac{920 + 162 + 511}{20} = 79.65$、中央値は $82.5$ である。$N = 100$、$k = 7$ なら平均 $81.17$、中央値 $82.5$ となる。いずれも $82.5 - \tfrac{19k}{N}$ と一致する。