平均値・中央値・最頻値計算機

平均値、中央値、最頻値は、統計における代表値（中心傾向）の3つの主要な尺度です。それぞれ異なる方法でデータセットの中心を表します。

平均値（算術平均）

平均値は、すべての値の和を値の個数で割ったものです。

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

平均値は外れ値に敏感です — 1つの非常に大きいまたは小さい値が平均値を大きくずらすことがあります。

中央値

中央値は、データを昇順に並べたときの真ん中の値です。$n$ 個のデータ点について：

• $n$ が奇数のとき：中央値 $= x_{\frac{n+1}{2}}$
• $n$ が偶数のとき：中央値 $= \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

中央値は外れ値に頑健で、歪んだ分布で好まれます。

最頻値

最頻値は、最も頻繁に現れる値です。データセットは次のようになりえます。

• 単峰 — 1つの最頻値
• 二峰 — 2つの最頻値
• 多峰 — 2つより多い最頻値
• 最頻値なし — すべての値が等しい頻度で現れる

これら3つの尺度を合わせると、データセットの「中心」がどこにあるかの包括的な姿が得られます。

平均値の計算

1. すべてのデータ値を足す：$\sum x_i$
2. 総数 $n$ で割る
3. 結果：$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$

加重平均：値が異なる重みを持つとき：

$\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$

中央値の計算

1. データを昇順に並べ替える
2. 値の個数 $n$ を数える
3. $n$ が奇数のとき：中央値は位置 $\frac{n+1}{2}$ の値
4. $n$ が偶数のとき：中央値は位置 $\frac{n}{2}$ と $\frac{n}{2}+1$ の値の平均

最頻値の計算

1. 各値の頻度を数える
2. 最も高い頻度の値を特定する
3. すべての値が1回だけ現れる場合、最頻値なし

比較表

各尺度をいつ使うか

• 平均値：極端な外れ値のない正規分布データに使う（例：大人数クラスのテスト点数）。
• 中央値：歪んだデータや外れ値がある場合に使う（例：世帯所得）。
• 最頻値：カテゴリデータや最も一般的な値を求める場合に使う（例：最も人気の靴のサイズ）。

平均値・中央値・最頻値の関係

完全に対称な分布では：平均値 $=$ 中央値 $=$ 最頻値。

右に歪んだ分布では：平均値 $>$ 中央値 $>$ 最頻値。

左に歪んだ分布では：平均値 $<$ 中央値 $<$ 最頻値。

• 中央値を求める前にデータを並べ替え忘れる — 中央値は並べられたデータを必要とします。並べ替えていないデータを使うと誤った結果になります。
• 歪んだデータで平均値と中央値を混同する — 平均値は外れ値に引っ張られるので、歪んだ分布では中央値が中心のよりよい尺度です。
• 頻度が同点なのに「最頻値なし」と主張する — 複数の値が最も高い頻度を共有する場合、それらはすべて最頻値です（二峰または多峰）。
• 間違った数で割る — 異なる値の個数ではなく、データ点の総数で割ることを確認してください。
• 外れ値を考慮せずに含める — 平均値を誤解させかねない極端な値を常に確認してください。