ある数学のクラスで、生徒の半数が学力テストで 40 点を取った。数名が 80 点を取ったほかは、残りの生徒は 58 点だった。この分布について正しいのはどれか：平均と中央値が等しい、平均が最頻値より小さい、平均が中央値より小さい、平均が中央値より大きい。

Step-by-step solution

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   感覚で論じずに記号を置く。 クラスの人数を $N$（偶数）とすると、$\tfrac{N}{2}$ 人が $40$ 点、$k$ 人が $80$ 点（$k$ は小さく $k \ge 1$）、残りの $\tfrac{N}{2} - k$ 人が $58$ 点である。以下はすべてこの人数だけから従うので、「数名」をどう解釈しても結論は変わらない。

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   中央値を正確に突き止める。 昇順に並べると、$1$ 番目から $\tfrac{N}{2}$ 番目までの位置はすべて値 $40$ をもち、$\tfrac{N}{2}+1$ 番目以降は $58$、続いて $80$ となる。$N$ が偶数なので中央値は $\tfrac{N}{2}$ 番目と $\tfrac{N}{2}+1$ 番目の平均である。

   $\text{中央値} = \frac{40 + 58}{2} = 49$

   これは $k$ に依存しない——動きうるのは平均だけだという意味で、決定的な点である。

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   平均を閉じた形で計算する。

   $\text{平均} = \frac{40\cdot\tfrac{N}{2} + 58\left(\tfrac{N}{2} - k\right) + 80k}{N} = \frac{49N + 22k}{N} = 49 + \frac{22k}{N}$

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   比較する。 $k \ge 1$ なので $\tfrac{22k}{N}$ は厳密に正であり

   $\text{平均} = 49 + \frac{22k}{N} > 49 = \text{中央値}$

   となる。この分布は右に歪んでいる。大多数からはるかに離れた小さな集団が平均を中央値の向こうへ引っ張る一方、中央値は動かない。選択肢 D が正しい。

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   他の選択肢を排除する。 A は平均が厳密に $49$ を超えるので誤り。C は不等号の向きが逆である。B は、最頻値が $40$（クラスの半数）である一方で平均は $49$ より上なので、平均は最頻値より大きく、小さくはない。よって誤りである。

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   具体的な数値で確かめる。 $N = 20$、$k = 3$ の場合、$40$ 点が 10 人、$80$ 点が 3 人、$58$ 点が 7 人である。平均 $= \tfrac{400 + 240 + 406}{20} = 52.3$、中央値 $= 49$、最頻値 $= 40$ となる。$N = 40$、$k = 5$ なら平均 $= 51.75$、中央値 $= 49$ である。いずれも公式 $49 + \tfrac{22k}{N}$ と一致する。