ある数学のクラスで、生徒の半数が学力テストで 78 点を取った。数名が 55 点を取ったほかは、残りの生徒は 74 点だった。この分布について正しいのはどれか。

Step-by-step solution

1. 1

   人数を記号で書き出す。 クラスの人数が偶数 $N$ のとき、$\tfrac{N}{2}$ 人が $78$ 点、$k \ge 1$ 人が $55$ 点、$\tfrac{N}{2} - k$ 人が $74$ 点である。答えは許されるすべての $k$ について成り立たねばならないので、記号のまま扱うのが安全な道筋である。

2. 2

   中央値を決める。 低い順に並べると、まず $55$ が（$k$ 個）、次に $74$ が（$\tfrac{N}{2} - k$ 個）、最後に $78$ が（$\tfrac{N}{2}$ 個）並ぶ。中央の 2 つの位置 $\tfrac{N}{2}$ と $\tfrac{N}{2}+1$ にはそれぞれ $74$ と $78$ が来るので

   $\text{中央値} = \frac{74 + 78}{2} = 76$

   となる。

3. 3

   平均を計算する。

   $\text{平均} = \frac{78\cdot\tfrac{N}{2} + 55k + 74\left(\tfrac{N}{2}-k\right)}{N} = \frac{76N - 19k}{N} = 76 - \frac{19k}{N}$

   $74$ ではなく $55$ を取った生徒 1 人につき合計から $19$ 点が失われる。それが分子の $-19k$ にほかならない。

4. 4

   比較する。 $k \ge 1$ なので

   $\text{平均} = 76 - \frac{19k}{N} < 76 = \text{中央値}$

   となり、選択肢 D が正しい。低いほうの外れ値は平均を動かすが中央値は動かさない。

5. 5

   他の選択肢を消す。 B と C はいま示した狭義の不等式に反する。A は、最頻値が $78$（クラスの半数が取った最も多い得点）である一方、平均は $76 < 78$ より下なので誤りである。

6. 6

   数値で確認する。 $N = 20$、$k = 3$ の場合、$78$ が 10 人、$55$ が 3 人、$74$ が 7 人である。平均 $= \tfrac{780 + 165 + 518}{20} = 73.15$、中央値 $= 76$、最頻値 $= 78$ となる。公式は $76 - \tfrac{57}{20} = 73.15$ を予測しており、完全に一致する。