データ 3, 7, 5, 9, 5, 2 の平均、中央値、最頻値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平均：すべての値を足し、個数で割る。 平均はもとの並び順のまま使えるので、並べ替えは不要である。

   $3+7+5+9+5+2=31,\qquad n=6,$

   $\bar{x}=\frac{31}{6}=5.1\overline{6}\approx 5.1667.$

   $31$ は $6$ で割り切れず小数はすべて近似値になるので、答えを厳密な分数 $\tfrac{31}{6}$ のままにしておくほうが作法としてはよい。

2. 2

   中央値に手をつける前にデータを並べ替える。 中央値は順に並べたデータに対して定義されており、ここが飛ばされやすい。

   $2,\;3,\;5,\;5,\;7,\;9.$

   並べ替えていないリストから中央値を読むと $\tfrac{5+9}{2}=7$ となってしまい、誤りである。

3. 3

   中央値：個数が偶数なら真ん中 2 つを平均する。 $n=6$ では真ん中の位置は 3 番目と 4 番目である。

   $\text{中央値}=\frac{x_{3}+x_{4}}{2}=\frac{5+5}{2}=5.$

   一般に、$n$ が偶数なら位置は $\tfrac{n}{2}$ と $\tfrac{n}{2}+1$、$n$ が奇数なら位置は $\tfrac{n+1}{2}$ の 1 つだけである。ここでは真ん中の 2 つがたまたまどちらも $5$ なので、中央値はちょうど $5$ で小数部は出ない。

4. 4

   最頻値：度数を数え上げる。 出現回数を数えると $2$ が 1 回、$3$ が 1 回、$5$ が 2 回、$7$ が 1 回、$9$ が 1 回である。最大の度数は $2$ で、それを達成するのは $5$ だけなので、最頻値は

   $\text{最頻値}=5.$

   データには最頻値がない場合（度数がすべて等しい場合）も、複数ある場合もある。ここではちょうど 1 つである。

5. 5

   3 つの数値を互いに突き合わせて検算する。 平均 $5.1667$ は中央値 $5$ をわずかに上回っており、これは大きく外れた値（$9$）が 1 つあって平均を引き上げているデータで予想されるとおりである。3 つの統計量はいずれも、当然そうあるべきとおり、データの範囲 $[2,9]$ の中に収まっている。