21 個の測定値 2.48, 2.44, 2.40, 2.42, 2.38, 2.49, 2.39, 2.51, 2.40, 2.40, 2.49, 2.43, 2.47, 2.47, 2.49, 2.48, 2.45, 2.35, 2.45, 2.43, 2.43 について、平均・中央値・最頻値・範囲・分散・標準偏差を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   値を合計して n で割る。 測定値は $n = 21$ 個あり、合計は

   $\sum x = 51.25$

   なので

   $\bar{x} = \frac{51.25}{21} = \frac{205}{84} \approx 2.4405$

   である。列は 2 度足すこと——ここで 1 桁読み違えると（たとえば $51.45$ と合計してしまうと）平均も、それに続くすべての偏差の 2 乗も狂ってしまう。

2. 2

   データを一度並べ替える。中央値・最頻値・範囲はすべて並べ替えた列から読める。

   $2.35,\ 2.38,\ 2.39,\ 2.40,\ 2.40,\ 2.40,\ 2.42,\ 2.43,\ 2.43,\ 2.43,\ \mathbf{2.44},$
   $2.45,\ 2.45,\ 2.47,\ 2.47,\ 2.48,\ 2.48,\ 2.49,\ 2.49,\ 2.49,\ 2.51$

3. 3

   中央値と範囲。 値が $21$ 個（奇数）なので中央値はちょうど真ん中の 1 個、位置は $\tfrac{21+1}{2} = 11$ である：

   $\text{中央値} = 2.44$

   そして

   $\text{範囲} = 2.51 - 2.35 = 0.16$

4. 4

   最頻値：答える前に同数がないか確かめる。 度数を数えると $2.40$、$2.43$、$2.49$ がそれぞれ 3 回ずつ現れ、それ以上のものはないので、このデータは三峰である：

   $\text{最頻値} = 2.40,\ 2.43,\ 2.49$

   データが複数の最頻値を持つのは正当なことであり、ここで 1 つだけを選ぶのは誤りである。

5. 5

   厳密な平均からの偏差の 2 乗を合計する。 丸めた $2.44$ ではなく $\bar{x} = 205/84$ を使う：

   $\sum (x - \bar{x})^2 = \frac{979}{26250} \approx 0.037295$

6. 6

   割って平方根をとる。 標本として扱うと（$n - 1 = 20$）：

   $s^2 = \frac{0.037295}{20} \approx 0.0018648, \qquad s = \sqrt{0.0018648} \approx 0.0432$

   母集団として扱う場合は（$n = 21$）$\sigma^2 \approx 0.0017760$、$\sigma \approx 0.0421$ となる。いずれにせよ散らばりは約 $0.04$ で範囲のおよそ 4 分の 1 にあたり、これは密に固まったデータでは典型的な値である。