37 名の学生について 3 つの評価列（Tugas、UAS、もう 1 つの TUGAS）がある。各列の平均・中央値・最頻値・範囲・標本分散・標準偏差・四分位数を求めよ。

Step-by-step solution

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   各列を合計し、n = 37 で割る。 丁寧に足し上げると：

   $\sum \text{Tugas} = 2606, \qquad \sum \text{UAS} = 2579, \qquad \sum \text{TUGAS} = 2906$

   $\bar{x}_{\text{Tugas}} = \frac{2606}{37} = 70.4324, \quad \bar{x}_{\text{UAS}} = \frac{2579}{37} = 69.7027, \quad \bar{x}_{\text{TUGAS}} = \frac{2906}{37} = 78.5405$

   合計は 2 度足し直す価値がある。ここでは 1 行打ち間違えるだけで平均が最大 $2.4$ 点も動く。

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   中央値を求める。 $n = 37$（奇数）なので中央値は並べ替えた列の $19$ 番目の値であり、平均をとる必要はない：

   $\text{Median}_{\text{Tugas}} = 76, \qquad \text{Median}_{\text{UAS}} = 77, \qquad \text{Median}_{\text{TUGAS}} = 82$

   どの列でも中央値が平均を上回っており、これは左に裾を引いた分布の特徴である。ここでは $0$ 点をとった 2 名がその原因である。

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   最頻値を特定する。 度数を数えると、Tugas は $83$ と $85$ の二峰（各 3 回）、UAS は $81$ と $86$ の二峰（各 4 回）、TUGAS は $81$ の単峰（4 回）である。$37$ 個中の最大度数が 3 や 4 という弱い最頻値は、ほぼ連続的な得点変数についてはほとんど情報を持たない。

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   標本分散と標本標準偏差を計算する。 $n - 1 = 36$ として $s^2 = \dfrac{\sum(x_i - \bar x)^2}{n-1}$ を使う：

   $s^2_{\text{Tugas}} = 427.3634,\ s_{\text{Tugas}} = 20.6728$

   $s^2_{\text{UAS}} = 406.9925,\ s_{\text{UAS}} = 20.1741$

   $s^2_{\text{TUGAS}} = 190.3664,\ s_{\text{TUGAS}} = 13.7973$

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   範囲と四分位数を報告する。 最小値・最大値と、テューキー流の四分位数 $Q_1, Q_2, Q_3$：

   列	最小	最大	範囲	$Q_1$	$Q_2$	$Q_3$	IQR
   Tugas	0	90	90	61	76	85	24
   UAS	0	92	92	60	77	81	21
   TUGAS	32	94	62	74	82	86	12

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   散らばりを解釈し、外れ値を指摘する。 $(0, 0, 32)$ という 2 行は、実力というより欠席によるものとみてほぼ間違いない。$1.5\times$IQR の基準では Tugas の下限は $61 - 1.5(24) = 25$ なので 2 つの 0 はどちらも外れ値、UAS の下限は $60 - 1.5(21) = 28.5$ で同様、TUGAS の下限は $74 - 1.5(12) = 56$ なので 2 つの $32$ もそこでの外れ値である。この 2 名を除けば Tugas の平均は $\tfrac{2606}{35} = 74.46$ に上がり、標準偏差は大きく下がる。3 列目が実際に最も均質であり（$s = 13.80$ に対して他の 2 列は $\approx 20$）、外れ値を取り除いてもその関係は変わらない。