信頼区間計算機

**信頼区間（CI）**は、標本データから構成された、未知の母集団パラメータのもっともらしい値の範囲です。95% 信頼区間とは：標本抽出の手順を何度も繰り返すと、構成された区間の約95%が真のパラメータを含むことを意味します。

重要：95% は手順を指すのであり、計算された個々の区間を指しません。データから区間が構成されると、それは真のパラメータを含むか含まないかのいずれかですが、どちらかはわかりません。

中核的な構造：すべての信頼区間は次の形を持ちます。

$\text{推定値} \pm \text{誤差の許容範囲}$

推定値は標本統計量（$\bar{x}$ または $\hat{p}$）です。誤差の許容範囲は臨界値 × 推定値の標準誤差です。

信頼区間は次の場面で現れます。

• 選挙世論調査（「支持52%、誤差の許容範囲 $\pm 3\%$」）
• 医学研究（効果量のCI）
• 品質管理（平均欠陥率）
• 点の値だけを報告するのではなく、推定値の不確実性を定量化したいあらゆる場合。

母平均の信頼区間（Z区間）

母標準偏差 $\sigma$ が既知で、標本分布が近似的に正規（大きい $n$ または正規母集団）のとき：

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで $z^*$ は選んだ信頼水準の臨界値です。

母平均の信頼区間（t区間）

$\sigma$ が未知（標本標準偏差 $s$ しかない）のとき — 実務ではこちらがはるかに一般的：

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

臨界値 $t^*$ は自由度 $n - 1$ のt分布から来ます。大きい $n$（$\geq 30$）では $t^* \approx z^*$ で2つの区間は非常に似ています。

母比率の信頼区間

標本比率 $\hat{p} = x/n$（$x$ は成功数）について：

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

$n\hat{p} \geq 10$ かつ $n(1 - \hat{p}) \geq 10$（成功・失敗条件）のとき有効です。

臨界値

誤差の許容範囲

$\text{ME} = (\text{臨界値}) \times (\text{標準誤差})$

標本サイズ $n$ を増やすと、標準誤差（したがって誤差の許容範囲）が $\sqrt{n}$ の因子で減少します。$n$ を4倍にすると誤差の許容範囲は半分になります。

信頼水準の選択

• 信頼水準が高い = 区間が広い。99% CI は 95% CI より広く、それは 90% CI より広いです。
• 95% はほとんどの学術的・専門的文脈でのデフォルトです。
• 重要度が高いとき（医療、安全）は 99%、被覆率よりも狭い点推定が重要なときは 90%。

• 95% の誤解：「真の平均がこの区間にある確率が95%」は誤り（頻度論）。正しい記述は手順についてです：同様に構成された区間の95%が真のパラメータを含みます。
• t が適切なときに z を使う：$\sigma$ が未知のとき $t^*$ を使います。$z^*$ を使うと、特に小さい $n$ で不確実性を過小評価します。
• 標準誤差で $\sqrt{n}$ を忘れる：$\sigma/n$ ではなく $\sigma/\sqrt{n}$ です。
• 間違った臨界値の向き：95%（両側）には $z^* = 1.96$ であり、95パーセンタイルの $z = 1.645$ ではありません。両側臨界値は各裾で $\alpha/2$ を切り取ります。
• 比率で成功・失敗条件を飛ばす：$n\hat{p}$ または $n(1-\hat{p}) < 10$ なら正規近似が破綻します — 厳密な（クロッパー・ピアソン）またはスコアベースの区間を使います。
• CI と予測区間の混同：95% CI は95%の被覆率で平均を推定します。予測区間は単一の将来の観測を推定し — はるかに広いです。