多世代同居 1438 世帯の調査を人種と世帯類型で分類したところ、黒人の行は成人 2 世代 114、世代飛ばし 34、3 世代以上 102 で行合計 250 であった。無作為に選んだ黒人の多世代世帯が成人 2 世代世帯である確率を、小数第 3 位まで求めよ。

Step-by-step solution

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   条件を表す語が何をしているかを読み取る。 「無作為に選んだ黒人の多世代世帯」という言い方は、選ばれた世帯が黒人の行から出ていることが既知だと告げている。これは条件付き確率 $P(\text{成人 2 世代}\mid\text{黒人})$ であり、ここで最も多い誤りは行の合計ではなく総計 $1438$ で割ってしまうことである。

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   標本空間を与えられた行に縮める。 世帯が黒人だと分かった時点で、起こりうる結果は黒人の $250$ 世帯だけになる。この行合計が新しい分母である：

   $P(A\mid B)=\frac{n(A\text{ かつ }B)}{n(B)}$

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   その行の中で条件に合う数を数える。 黒人の行と「成人 2 世代」の列が交わるセルには $114$ 世帯があるので $n(A\text{ かつ }B)=114$ である。

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   割って丸める。

   $P(\text{成人 2 世代}\mid\text{黒人})=\frac{114}{250}=0.456$

   割り切れるので丸め誤差は入らない。$\tfrac{114}{250}=\tfrac{57}{125}$ である。

   $\boxed{0.456}$

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   条件をつけない確率と突き合わせて確かめる。 誤って総計を使うと $114/1438\approx 0.079$ となり、まったく別の数になってしまう。また、黒人の行に沿った 3 つの条件付き確率の和は $1$ にならなければならない。$\tfrac{114}{250}+\tfrac{34}{250}+\tfrac{102}{250}=\tfrac{250}{250}=1$ となり、行合計を正しく読めていたことが確認できる。