対角線が 24 cm の同じ正方形の紙が 2 枚ある。重なった部分が 1 辺 AB の正方形になるように重ねる。合わせた図形が覆う面積が 384 平方 cm のとき、AB の長さを求めよ。

Step-by-step solution

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   正方形の面積を対角線の公式で求める。 $d=s\sqrt2$ より $s^2=\tfrac{d^2}{2}$ なので

   $\text{面積}=\frac{1}{2}(24)^2=\frac{576}{2}=288\ \text{cm}^2$

   が 1 枚あたりの面積である。面積が $d^2$ に比例することにも注意したい。対角線を $12$ から $24$ に倍にすると面積は 4 倍になる。

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   包除原理を適用する。 覆われた面積では共通部分が 2 回ではなく 1 回だけ数えられる。

   $\text{覆われた面積}=\text{面積}_1+\text{面積}_2-\text{重なり}$

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   重なりを求める。 紙は合わせて $288+288=576\ \text{cm}^2$ あるが、覆われているのは $384\ \text{cm}^2$ だけである。

   $\text{重なり}=576-384=192\ \text{cm}^2$

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   重なりは正方形なので平方根を取る。

   $AB=\sqrt{192}\ \text{cm}$

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   根号を簡単にする。 最大の平方因数を外に出す。$192=64\times3$ で $\sqrt{64}=8$ なので

   $AB=8\sqrt3\approx13.86\ \text{cm}$

   となる。$18$ cm 版の $\sqrt{78}$ とは違い、この根号はきれいに簡単になる。

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   妥当性を確かめる。 各紙の 1 辺は $\sqrt{288}\approx16.97$ cm で $13.86<16.97$ ✓ なので、重なりは紙の中に収まる。重なりは各紙の $\tfrac{192}{288}=\tfrac{2}{3}$ にあたる——大きいが十分ありうる重なりである ✓。