対角線が 18 cm の同じ正方形の紙が 2 枚ある。重なった部分が 1 辺 AB の正方形になるように重ねる。合わせた図形が覆う面積が 246 平方 cm のとき、AB の長さを求めよ。

Step-by-step solution

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   各正方形の面積を対角線から直接求める。 1 辺 $s$ の正方形では対角線が $d=s\sqrt2$ なので $s^2=\dfrac{d^2}{2}$ である。したがって面積は対角線の 2 乗の半分であり、先に 1 辺を求める必要はない。

   $\text{面積}=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2}(18)^2=\frac{324}{2}=162\ \text{cm}^2$

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   包除原理の関係を立てる。 2 つの領域が重なるとき、実際に覆われる面積では共通部分が 1 回しか数えられない。

   $\text{覆われた面積}=\text{面積}_1+\text{面積}_2-\text{重なり}$

   この等式がこの問題の原動力のすべてである。

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   重なりの面積を求める。 2 枚合わせた紙は $162+162=324\ \text{cm}^2$ あるが、覆っているのは $246\ \text{cm}^2$ にすぎない。

   $\text{重なり}=324-246=78\ \text{cm}^2$

   足りない $78\ \text{cm}^2$ こそが二重に覆われた領域である。

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   重なりの面積を 1 辺の長さに直す。 問題文より重なりはそれ自体正方形なので、その 1 辺は面積の平方根である。

   $AB=\sqrt{78}\ \text{cm}$

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   簡単にして値を出す。 $78=2\times3\times13$ には平方因数がないので $\sqrt{78}$ はこれ以上簡単にできない。

   $AB=\sqrt{78}\approx8.83\ \text{cm}$

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   図形として成り立つかを確かめる。 各紙の 1 辺は $\sqrt{162}\approx12.73$ cm であり、重なりの 1 辺 $8.83$ cm はそれより小さい ✓——重なりが紙そのものを超えることはありえない。また $78<162$ なので重なりは各紙の半分未満であり、部分的に重なっている状況と整合する ✓。