64 cm × 36 cm のポスターを、余りが出ないように同じ大きさの正方形に切り分ける。正方形の一辺として可能な最大の長さと、正方形の最少枚数を求めよ。

Step-by-step solution

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   「余りが出ない」を割り切れる条件に翻訳する。 正方形の一辺を $s$ とすると、両方の辺に沿って正方形が整数個並ばなければならないので、$64$ と $36$ はどちらも $s$ の整数倍でなければならない：

   $s\mid 64\quad\text{かつ}\quad s\mid 36$

   つまり $s$ は $64$ と $36$ の公約数であり、許される最大の $s$ はその最大公約数である。これがこの問題の中身のすべてで、幾何は割り切れる条件を与えているにすぎない。

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   素因数分解で最大公約数を求める。

   $64=2^6,\qquad 36=2^2\times3^2$

   最大公約数は共通する素因数を、2つの指数のうち小さい方で取る。素因数 $3$ は $36$ にしか現れないので寄与せず、素因数 $2$ は指数 $6$ と $2$ で現れるので $2^2$ が寄与する：

   $\gcd(64,36)=2^2=4$

   したがって最大の正方形は一辺 $4$ cm である。（ユークリッドの互除法の方が速く同じ結果を出す：$64=1\cdot36+28$、$36=1\cdot28+8$、$28=3\cdot8+4$、$8=2\cdot4+0$ なので、最後の $0$ でない余りが $4$ である。）

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   それぞれの辺に沿って何枚並ぶかを数える。

   $\frac{64}{4}=16\ \text{枚（長い辺に沿って）},\qquad \frac{36}{4}=9\ \text{枚（短い辺に沿って）}$

   どちらの割り算も割り切れるので、切れ端を出さずに敷き詰められることが確認できる。

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   掛けて正方形の枚数を求める。

   $16\times9=144\ \text{枚}$

   面積でも確かめる。ポスターは $64\times36=2304$ cm²、正方形1枚は $4\times4=16$ cm² で、$2304\div16=144$ である。✓ 切り出した正方形がちょうど全体を覆うので、2つの数え方は必ず一致する。

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   最大の正方形がなぜ最少の枚数になるのかを説明する。 枚数は $\dfrac{2304}{s^2}$ で、$s$ が大きくなるほど減る。つまり一辺を最大にすることと枚数を最小にすることは、同じ問いを2通りに聞いているだけであり、この問題の2つの問いはどちらも $\gcd(64,36)=4$ という1つの数で答えられる。より小さい公約数でも切り分けはできるが、切る回数が無駄に増える。$s=2$ なら $576$ 枚、$s=1$ なら $2304$ 枚になる。