対角線が 28 cm の合同な正方形の紙が 2 枚あり、正方形の領域で重なっている。覆われた面積の合計が 720 平方 cm のとき、重なりの 1 辺を求めよ。

Step-by-step solution

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   対角線から 1 枚の面積を求める。

   $A=\frac{d^2}{2}=\frac{28^2}{2}=\frac{784}{2}=392\ \text{cm}^2$

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   2 枚を足す。 これで重なりの部分が 2 回数えられる。

   $392+392=784\ \text{cm}^2$

3. 3

   与えられた被覆面積を使って包除原理を適用する。

   $|A\cap B|=784-720=64\ \text{cm}^2$

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   正方形である重なりの 1 辺を取り出す。

   $s=\sqrt{64}=8\ \text{cm}$

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   検算し、この型の問題が破綻する場合にも触れる。 各紙の 1 辺は $\tfrac{28}{\sqrt2}\approx 19.8$ cm で、$8$ cm よりゆとりをもって大きい $\checkmark$。また $784-64=720$ $\checkmark$ である。この方法で 1 辺が整数になるのは、差 $\tfrac{d^2}{2}\cdot 2-|A\cup B|$ がたまたま平方数になるときに限られる。たとえば $d=24$ で被覆面積が $528$ なら重なりは $48$ となり、その平方根は無理数なので、その組み合わせでは整数の答えにはならない。