対角線が 14 cm の合同な正方形の紙が 2 枚ある。重なった部分がやはり正方形になるように置くと、覆われた面積の合計は 160 平方 cm だった。重なりの正方形の 1 辺を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   対角線から 1 枚の面積を求める。 対角線が $d$ の正方形の 1 辺は $\tfrac{d}{\sqrt2}$ なので、面積は

   $A=\left(\frac{d}{\sqrt2}\right)^2=\frac{d^2}{2}$

   である。$d=14$ とすると

   $A=\frac{196}{2}=98\ \text{cm}^2$

   となる。

2. 2

   2 枚を足すと重なりが 2 回数えられる。 2 枚を重ねて置くと、面積の和は

   $98+98=196\ \text{cm}^2$

   であるが、重なった部分は両方の紙で数えられている。

3. 3

   包除原理で重なりを取り出す。 実際に覆われている面積は和集合である。

   $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

   $160=196-|A\cap B|\quad\Longrightarrow\quad|A\cap B|=36\ \text{cm}^2$

4. 4

   重なりの面積を 1 辺の長さに直す。 問題文より重なりは正方形なので、その 1 辺は面積の平方根である。

   $s=\sqrt{36}=6\ \text{cm}$

5. 5

   図形として整合するかを確かめる。 各紙の 1 辺は $\tfrac{14}{\sqrt2}\approx 9.9$ cm であり、重なりの 1 辺 $6$ cm はそれより小さい。当然そうでなければならない $\checkmark$。逆算しても $196-36=160$ $\checkmark$ である。