対角線が 20 cm の合同な正方形の紙が 2 枚あり、正方形の領域で重なっている。覆われた面積の合計が 384 平方 cm のとき、重なりの 1 辺を求めよ。

Step-by-step solution

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   対角線を面積に直す。 対角線 $d$ の正方形について $A=\tfrac{d^2}{2}$ を使うと

   $A=\frac{20^2}{2}=\frac{400}{2}=200\ \text{cm}^2$

   となる。（この公式が成り立つのは、対角線が正方形を、1 辺を直角をはさむ 2 辺とする 2 つの直角二等辺三角形に分けるからである。）

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   2 枚分を合計する。

   $200+200=400\ \text{cm}^2$

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   覆われた面積を引いて、二重に数えた部分を求める。

   $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=400-384=16\ \text{cm}^2$

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   重なりは正方形とされているので平方根を取る。

   $s=\sqrt{16}=4\ \text{cm}$

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   比率が妥当かを確かめる。 各紙の 1 辺は $\tfrac{20}{\sqrt2}\approx 14.1$ cm なので、$4$ cm の重なりは角と角がわずかに交わる程度である——覆われた面積 $384$ が最大値 $400$ に近いことと整合する $\checkmark$。