点 (1, 4) と直線 (0,0) + a·(3, 1) の距離を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   直線上の一般の点までの距離を書く。 $\ell$ 上の点は $(3a,a)$ なので

   $d(a)=\sqrt{(1-3a)^2+(4-a)^2}=\sqrt{1-6a+9a^2+16-8a+a^2}=\sqrt{10a^2-14a+17}$

   となる。この関数は「媒介変数 $a$ の点から $P$ までの距離」を表しており、直線までの距離とはその最小値のことである。

2. 2

   根号の中の 2 次式を最小化する。 平方根は増加関数なので、$d(a)$ の最小化は $q(a)=10a^2-14a+17$ の最小化と同じである。その頂点は

   $a=-\frac{-14}{2(10)}=\frac{14}{20}=0.7$

   にある。これは垂線の足を正射影で求めたときの $a$ と同じ値である：$\tfrac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\tfrac{3+4}{10}=0.7$。

3. 3

   頂点で値を求める。

   $q(0.7)=10(0.49)-14(0.7)+17=4.9-9.8+17=12.1\;\Longrightarrow\;d=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

4. 4

   平面での外積型の公式で確認する。 平面上で、原点を通り方向ベクトル $\mathbf d=(3,1)$ を持つ直線と $P$ の距離は

   $d=\frac{\left|p_xd_y-p_yd_x\right|}{\|\mathbf d\|}=\frac{|1\cdot 1-4\cdot 3|}{\sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{10}}\approx 3.4785$

   であり、実際 $\left(\tfrac{11}{\sqrt{10}}\right)^2=\tfrac{121}{10}=12.1\;\checkmark$ となって、最小化した 2 次式とぴたり一致する。

5. 5

   答えを丁寧に述べる。 直線全体までの距離を問うているなら、答えは

   $d=\frac{11}{\sqrt{10}}=\frac{11\sqrt{10}}{10}\approx 3.4785$

   である。もし特定の媒介変数 $a$ の点までの距離を意図しているなら、それは関数 $\sqrt{10a^2-14a+17}$ であり、$a=0$ では $\sqrt{17}\approx 4.12$、$|a|\to\infty$ では際限なく大きくなる。