直線 (0,0) + a*(3, 1) 上で点 (1, 4) に最も近い点を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   正射影を使う。 原点を通る直線上の最近点は、$\mathbf p$ を方向 $\mathbf d$ に正射影したものである。

   $\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}\,\mathbf d$

   これを特徴づけるのは、残差 $\mathbf p-\operatorname{proj}_{\mathbf d}\mathbf p$ が $\mathbf d$ と直交するという性質である。その直交性こそが距離を最小にしている。

2. 2

   2 つの内積を計算する。 $\mathbf p=(1,4)$、$\mathbf d=(3,1)$ とすると

   $\mathbf p\cdot\mathbf d=1(3)+4(1)=7,\qquad \mathbf d\cdot\mathbf d=9+1=10$

   となる。

3. 3

   媒介変数と点を求める。

   $a=\frac{7}{10}=0.7\;\Longrightarrow\;\text{最近点}=0.7(3,1)=\left(\frac{21}{10},\,\frac{7}{10}\right)=(2.1,\,0.7)$

4. 4

   直交性を検証する。 垂線の足から $P$ へ向かう残差ベクトルは

   $(1,4)-(2.1,0.7)=(-1.1,\,3.3)$

   であり、方向ベクトルとの内積は $(-1.1)(3)+(3.3)(1)=-3.3+3.3=0\;\checkmark$ となる。内積が 0 になることは証拠ではなく証明である——直線上の他のどの点もこの性質をもたない。

5. 5

   副産物として最短距離を読み取る。

   $\left\|(-1.1,\,3.3)\right\|=\sqrt{1.21+10.89}=\sqrt{12.1}\approx 3.4785$

   近くの媒介変数で試すと最小であることが確かめられる。$a=0.6$ では距離が $\sqrt{12.2}\approx 3.493$、$a=0.8$ でも $\sqrt{12.2}$ であり、どちらも $\sqrt{12.1}$ より大きい。