距離の公式計算機

距離の公式は、座標空間の2点間の直線距離を計算します。これは、点間の水平・垂直の隔たりが作る直角三角形にピタゴラスの定理を適用した直接の帰結です。

2D 形式 — 点 $P_1 = (x_1, y_1)$ と $P_2 = (x_2, y_2)$ について：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3D 形式 — 点 $(x_1, y_1, z_1)$ と $(x_2, y_2, z_2)$ について：

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$ 次元形式（ユークリッド距離）：

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

これは任意の次元数へ自然に一般化されるため、物理学、統計学、機械学習における主力の「距離」概念です。

ステップごと

1. 点にラベルを付ける $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$。どちらの割り当てでも成り立ちます — 公式は対称です。
2. 差を計算：$\Delta x = x_2 - x_1$、$\Delta y = y_2 - y_1$。
3. 2乗する：$(\Delta x)^2$ と $(\Delta y)^2$。
4. 和をとる：$(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$。
5. 平方根をとる：$d = \sqrt{\text{和}}$。
6. 可能なら根号を簡約する（例：$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$）。

幾何学的導出

$(x_1, y_1)$ から $(x_2, y_1)$ への水平線分を引く — 長さ $|x_2 - x_1|$。
$(x_2, y_1)$ から $(x_2, y_2)$ への垂直線分を引く — 長さ $|y_2 - y_1|$。
元の線分はこれら2つの脚を持つ直角三角形の斜辺なので、ピタゴラスの定理により：

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

平方根をとると距離の公式が得られます。2乗が符号を取り除くため、絶対値は不要です。

関連する公式

• 中点：$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — 座標の平均。
• 傾き：$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — 距離の公式と同じ差を使う。
• 原点からの距離：$d = \sqrt{x^2 + y^2}$（$(x_1, y_1) = (0, 0)$ の特別な場合）。

マンハッタン／タクシー距離（比較用）

上記の公式はユークリッド距離であることに注意してください。マンハッタン距離 $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ は格子上の移動（対角線なし）を測ります。これらは異なる計量です — 問題がどちらを求めているか必ず確認してください。

• 2乗し忘れる：$d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$。2乗（と平方根）は不可欠です。
• 符号誤り：$(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$ なので引き算の順序は関係ありません — ただしそれは2乗のおかげです。差が「見える」からといって2乗を省かないでください。
• 平方根をとり忘れる：$(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ は $d^2$ であり $d$ ではありません。多くの生徒が1ステップ早く止めます。
• 根号を簡約しない：$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。$\sqrt{8}$ のままにするのは技術的には正しいですが、試験では通常減点されます。
• 2Dと3Dの混同：問題が3Dなら $(z_2 - z_1)^2$ の項を含めます。2Dなら $z$ の項をでっち上げないでください。