点 (1, 4, −1) と直線 (0,0,0) + a·(3, 1, 2) の距離を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   外積による公式を立てる。 点 $Q$ を通り方向ベクトル $\mathbf d$ を持つ直線に対して、$P$ からの距離は

   $d=\frac{\left\|\overrightarrow{QP}\times\mathbf d\right\|}{\|\mathbf d\|}$

   である。ここでは $Q$ が原点なので $\overrightarrow{QP}=\mathbf p=(1,4,-1)$、$\mathbf d=(3,1,2)$ となる。図形的には分子が 2 つのベクトルの張る平行四辺形の面積で、それを底辺 $\|\mathbf d\|$ で割れば高さが残る——それがまさに距離である。

2. 2

   外積を計算する。

   $\mathbf p\times\mathbf d=\begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 1&4&-1\\ 3&1&2\end{vmatrix}=\left(4\cdot 2-(-1)\cdot 1,\;(-1)\cdot 3-1\cdot 2,\;1\cdot 1-4\cdot 3\right)=(9,\,-5,\,-11)$

   真ん中の成分には行列式の展開に組み込まれた負号が効いており、符号の誤りはここに集中する。

3. 3

   2 つの長さを求める。

   $\left\|\mathbf p\times\mathbf d\right\|=\sqrt{81+25+121}=\sqrt{227},\qquad \|\mathbf d\|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$

4. 4

   割って距離を得る。

   $d=\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{227}{14}}\approx\sqrt{16.2143}\approx 4.0267$

5. 5

   正射影の方法で突き合わせる。 垂線の足は媒介変数

   $a^{*}=\frac{\mathbf p\cdot\mathbf d}{\mathbf d\cdot\mathbf d}=\frac{3+4-2}{14}=\frac{5}{14}$

   のところにあり、足の座標は $\tfrac{5}{14}(3,1,2)=(1.0714,\,0.3571,\,0.7143)$ となる。$P$ からこの点までの距離は $\sqrt{(1-1.0714)^2+(4-0.3571)^2+(-1-0.7143)^2}=4.0267\;\checkmark$ ——独立な別の道筋で同じ値が得られた。