点 (3, 1, 2) から点 (1, 4, −1) までの距離を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   空間内の距離の公式を使う。 これは三平方の定理を 2 回——水平面内で 1 回、鉛直方向に 1 回——当てたものであり、だからこそ 3 つ目の平方の項がほかの 2 つに単純に加わる：

   $d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

2. 2

   3 つの座標の差を計算する。 順序をそろえて引く（2 点目 − 1 点目）：

   $\Delta x=1-3=-2,\qquad \Delta y=4-1=3,\qquad \Delta z=-1-2=-3$

   どの差もこのあと 2 乗されるので順序自体は最終的に関係ない——ただし座標ごとに順序を混ぜてしまうのは駄目である。

3. 3

   それぞれの差を 2 乗する。

   $(-2)^{2}=4,\qquad 3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9$

   $(-3)^{2}=+9$ に注意する。距離が向きに依らないのは、この 2 乗のおかげである。

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   足して平方根をとる。

   $d=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}$

   $22=2\times 11$ には平方因子がないので、$\sqrt{22}$ はこれ以上簡単にできない。

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   小数値を示して妥当性を確かめる。 $\sqrt{22}\approx 4.6904$ である。確認として、座標の差で最大なのは $3$ であり、距離はそれより大きく、$2+3+3=8$ よりは小さいはずである。$4.69$ はその範囲に余裕をもって収まっている ✓。