非線形微分方程式 x'' = -0.005 sin(x) を解析し、微小角近似の解も与えよ。

Step-by-step solution

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   方程式を見きわめ、通常の手法が効かない理由を押さえる。 $x''+0.005\sin x=0$ と書けば、これは $\omega^2=0.005$ の減衰なし振り子の方程式である。$\sin x$ があるために非線形であり、特性根も未定係数法もラプラス変換もすべて通用しない——初等関数による閉じた形の解は存在しない。

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   x' を掛けて完全微分を作る。 これは $x''=F(x)$ 型に対する定石である。

   $x'x''=-0.005\,x'\sin x$

   両辺を時間微分として読み直す。$x'x''=\dfrac{d}{dt}\!\left(\tfrac12(x')^2\right)$ であり、$\dfrac{d}{dt}\cos x=-x'\sin x$ なので右辺は $0.005\dfrac{d}{dt}(\cos x)$ である。

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   積分して保存されるエネルギーを得る。 まとめて 1 回積分すると

   $\frac{d}{dt}\left(\frac12(x')^2-0.005\cos x\right)=0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac12(x')^2-0.005\cos x=C$

   となる。この第一積分は全エネルギーであり、$\tfrac12(x')^2$ が運動エネルギー、$-0.005\cos x$ が位置エネルギーにあたる。これにより 2 階の方程式が 1 階に落ちる。

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   変数分離して楕円積分に出会う。 $x'$ について解くと

   $(x')^2=2C+0.01\cos x\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm\,dt$

   となるので

   $\int\frac{dx}{\sqrt{2C+0.01\cos x}}=\pm t+C_2$

   である。この積分は初等的ではない——第 1 種不完全楕円積分である。厳密解についての正直な答えは、陽ではなく陰の形になる、ということである。

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   微小角で線形化する。 $|x|\ll1$ では $\sin x\approx x$ なので、方程式は

   $x''+0.005x=0$

   すなわち単振動になる。特性方程式 $r^2+0.005=0$ より $r=\pm i\sqrt{0.005}$ であるから

   $x(t)=C_1\cos\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)+C_2\sin\!\left(\sqrt{0.005}\,t\right)$

   となる。

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   物理的な定数を取り出す。 $0.005=\tfrac{1}{200}$ なので角振動数は

   $\omega=\sqrt{0.005}=\frac{1}{\sqrt{200}}=0.0707107\ \text{rad／単位時間}$

   であり、周期は $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=88.858$ となる。線形近似での周期が振幅によらないのに対し、本当の非線形の周期は振幅とともに大きくなる——この近似が隠してしまう最も重要な違いである。

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   両方の結果を数値で検証する。 厳密な非線形方程式を $x(0)=1.2$、$x'(0)=0$ から 4 次のルンゲ・クッタ法で 200 万ステップ積分すると、エネルギー $\tfrac12(x')^2-0.005\cos x$ の初期値 $-0.00181179$ からのずれは $10^{-13}$ 未満にとどまる ✓。第一積分が確かめられた。また $C_1=0.9$、$C_2=-0.4$ とした線形解は $t=3,\,20,\,-7$ において $x''=-0.005x$ を小数第 9 位まで満たす ✓。