3√12 ÷ (4 × 54 の立方根) を、分母に根号が残らないように簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   まず何より先に、それぞれの根号を簡単にする。 平方根の中では最大の平方数を、立方根の中では最大の立方数を探す：

   $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3,\qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$

   根号の次数と累乗をそろえるのが要になる習慣である。平方根からは平方が、立方根からは立方が外に出る。

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   代入して有理数の係数を約分する。 分数は次のようになる。

   $\frac{3\cdot 2\sqrt3}{4\cdot 3\sqrt[3]{2}}=\frac{6\sqrt3}{12\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}$

   ここで約分できるのは数の部分だけである。$\sqrt3$ と $\sqrt[3]{2}$ は根号の次数が違うので、まとめることはできない。

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   立方根に合った有理化の因子を選ぶ。 平方根なら同じ根号を掛ければよいが、$\sqrt[3]{2}$ ではそれでは足りない。$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4}$ はまだ無理数だからである。根号の中に 2 が全部で 3 個必要なので、分子と分母に $\sqrt[3]{4}$ を掛ける：

   $\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{8}}$

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   分母を仕上げる。 $\sqrt[3]{8}=2$ なので

   $\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{4}$

   となる。分母は求められたとおり有理数 $4$ になった。

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   小数の値で確かめる。 もとの式は $\dfrac{3\cdot 3.4641}{4\cdot 3.7798}=0.68736$ であり、$\dfrac{1.7321\cdot 1.5874}{4}=0.68736$ である。2 つは一致するので、この簡約は正しい。