4,400ドルを年複利の口座に預けたところ、5年後の残高は5,790ドルになった。年利率は何パーセントか。

Step-by-step solution

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   複利の公式から出発する。 年1回の複利では、

   $A=P(1+r)^t$

   ここで $P=4400$ は元本、$A=5790$ は $t=5$ 年後の残高、$r$ は小数で表した年利率である。$r$ 以外はすべて分かっているので、これは $r$ を単独にする代数の問題である。

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   成長の因子を単独にする。 値を代入し、両辺を元本で割ると $P$ が消える：

   $5790=4400(1+r)^5\ \Longrightarrow\ (1+r)^5=\frac{5790}{4400}=1.3159090909\ldots$

   この数は5年間の総成長率である。つまり5年間の合計でおよそ $31.6\%$ 増えたのであって、1年あたりの値ではない。

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   5乗根で指数を外す。 両辺を $\tfrac15$ 乗すると、総成長率が1年あたりの成長率に変わる：

   $1+r=\left(1.3159090909\right)^{1/5}=1.05644083.$

   ここでよくある間違いが、総成長率を $5$ で割ってしまうことである。それでは約 $6.3\%$ になり誤りである。複利は加法的ではなく乗法的だからである。

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   1を引いてパーセントに直す。

   $r=1.05644083-1=0.05644083=5.644083\%.$

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   四捨五入して検算する。 小数第1位までなら利率は $\mathbf{5.6\%}$ である。2つの候補を目標残高と照らすと 4400(1.056)^5=\5{,}777.93$、$4400(1.057)^5=$5{,}805.34$となり、丸めない利率はちょうど$$5{,}790.00$を再現する。$5.644%$は中点の$5.65%$より小さいので**切り下げ**て$5.6%$となり、実際$5.6%$ の方が近い。