ラプラス変換計算機

ラプラス変換は、時間の関数 $f(t)$ を複素周波数の関数 $F(s)$ に変換します。

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

この変換は、積分が収束する右半平面 $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ の $s$ について定義されます。

なぜ便利か：ラプラス変換は微分を $s$ の掛け算に変え、定数係数の線形常微分方程式を $s$ の代数方程式に変えます。代数を解いてから、逆ラプラス変換をとって時間領域での答えを得ます。

ラプラス変換は不連続な入力やインパルス入力（ステップ関数、ディラックのデルタ）も巧みに扱えるため、制御理論、信号処理、電気工学で不可欠です。

基本的な変換対

中核となる表を暗記しましょう。

重要な性質

線形性：

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

第1移動定理（s 移動）：

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

これにより $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$ となります。

$t$ 領域での微分：

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

これが常微分方程式を代数に変えるものです。導関数は初期条件を組み込んだ $F(s)$ 倍の $s$ の多項式になります。

$t$ の掛け算：

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

逆ラプラス変換

$F(s)$ が与えられたとき、$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$ となる $f(t)$ を求めます。標準的な手法：

1. 部分分数分解：$F(s)$ を表に合う単純な有理式に分解する。
2. 平方完成：$\frac{1}{s^2 + bs + c}$ の形は $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ に書き換えて、移動した正弦の表項目に合わせる。
3. 線形性を使って参照・結合する。

ラプラス変換で常微分方程式を解く

$y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$、$y(0) = 0, y'(0) = 1$ の場合：

1. ラプラス変換を適用：$s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. $Y$ について解く：$Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$ なので $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$（簡約後）。
3. 逆変換：$y(t) = t e^{-t}$。

すっきりして機械的です — 同じ問題を定数変化法で解くと2倍の手間がかかります。

• 初期条件を忘れる：$\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$。$f(0)$ を抜かすのが最も多い誤りです。
• s 移動での符号誤り：$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$ であり、$F(s + a)$ ではありません。符号が重要です。
• 不連続点の取り扱い誤り：ステップ入力には単位ステップ関数 $u(t-a)$ と時間移動定理 $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$ を使います。
• 部分分数分解なしの逆変換：$\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ は直接逆変換できません — まず分解してください。
• $F(s)$ と $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$ の混同：$F(s)$ は変換、$f(t)$ は元の関数です。常微分方程式の問題は必ず時間領域で終えてください。