広義積分計算機

広義積分とは、次のいずれかである定積分です。

1. 区間が無限：例 $\int_1^\infty f(x)\,dx$ または $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$
2. 被積分関数が垂直漸近線を持つ（区間の内部または端点で）：例 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

どちらの場合も、標準的なリーマン積分は定義されませんが、極限を使って有限の値を割り当てられることがあります。

極限が存在して有限なら、その広義積分は収束します。極限が無限大であるか存在しないなら、その積分は発散します。

広義積分は確率（正規化定数）、ラプラス変換やフーリエ変換、級数の収束判定の中心となります。

タイプ1：無限区間

無限大を極限で置き換えます。

$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx$

両方の境界が無限大なら、便利な点 $c$ で分割します。

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx$

両方の部分が独立に収束しなければなりません — そうでなければ積分全体が発散します。

タイプ2：非有界な被積分関数

$f$ が $[a, b]$ の内部の $x = c$ で非有界なら、分割して極限をとります。

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx$

特異点が $x = a$ にある場合：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx$

$p$ 判定

$\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{は } p > 1 \text{ で収束、} p \leq 1 \text{ で発散}$

$\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{は } p < 1 \text{ で収束、} p \geq 1 \text{ で発散}$

臨界指数は $p = 1$ です。2つの場合で収束規則が逆であることに注意してください。

比較判定

区間上で $0 \leq f(x) \leq g(x)$ のとき：

• $\int g$ が収束 $\Rightarrow \int f$ が収束
• $\int f$ が発散 $\Rightarrow \int g$ が発散

積分そのものが難しいが境界が簡単なときに便利です。

• $\infty$ を数として扱う：$\infty$ を「代入」することはできません。極限を使う必要があります。
• 内部の特異点を見逃す：$\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx$ は区間内の $0$ に特異点を持ちます。素朴に評価すると $0$ になります（誤り） — 実際には積分は発散します。
• 「打ち消し合う」区分的広義積分の足し算：$\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ — 両方の半分が発散するので積分は発散します。「主値」は別の（より弱い）概念です。
• 誤った $p$ 判定の向き：$\infty$ では $1/x^p$ は $p > 1$ で収束します。$0$ では $p < 1$ で収束します。これらは逆です — 両方を暗記してください。
• 積分する前に収束を確認し忘れる：発散する広義積分には値がありません。常に先に収束を確認してください。