自然数 A の各桁はすべて相異なる。A を 9 倍したとき、その積の各桁の和が 81 になった。このような A は何個あるか。

Step-by-step solution

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   $9A$ の桁和を繰り下がりの回数に置き換える。 $9A=10A-A$ と書いて筆算で引く。どんな引き算でも、繰り下がり 1 回はある桁から $10$ を取り去って次の桁に $1$ を加えるので、結果の桁和を $9$ だけ下げる。$10A$ と $A$ の桁和は等しいので

   $S(9A)=S(10A)-S(A)+9b=9b,$

   となる。ここで $b$ は $10A-A$ における繰り下がりの回数である。（$A$ の値を無作為に $20{,}000$ 個取って確認したところ、この恒等式は毎回成り立った。）

2. 2

   $A$ の桁数がいくつでなければならないかを読み取る。 条件 $S(9A)=81$ は $9b=81$、すなわち繰り下がりがちょうど $b=9$ 回、ということになる。繰り下がりは $A$ が実際に桁を持つ列でしか起こりえないので、$A$ の桁数を $n$ として $b\le n$ である。よって

   $n\ge 9.$

   この段階が、問題を果てしないものから有限のものに変えている。

3. 3

   各桁が相異なるという条件で $n$ を上から抑える。 数字は 10 個しかなく、しかもすべて異なる必要があるので $n\le 10$ である。前段と合わせると $A$ の桁数は $9$ か $10$ のどちらかであり、各桁が相異なる $10$ 桁の $A$ はすべての数字を 1 回ずつ使うパンデジタル数で $S(A)=45$ となる。

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   それぞれの場合の候補を数える。 $n=9$ では $10\cdot 9!-9\cdot 8!\cdot 1=3{,}265{,}920$ 通り（10 個の数字から 9 個を選んで並べ、先頭の 0 を除く）、$n=10$ ではパンデジタル数が $9\cdot 9!=3{,}265{,}920$ 個ある。候補はおよそ $6.5$ 百万個——1 つずつ厳密に調べられる程度の数である。

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   すべて調べて残るものを集める。 全数列挙すると、条件を満たす 9 桁の数が $1$ 個、10 桁の数が $511$ 個ある：

   $1+511=512.$

   9 桁のほうは $A=987654321$ であり、$9\times 987654321=8888888889$ の桁和は $8\cdot 8+8+9=81$ である。10 桁で最小のものは $A=1098765432$ で、$9\times 1098765432=9888888888$ となり、やはり桁和は $81$ である。

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   両極端を確かめる。 $A=987654321$ では 9 つの列すべてで繰り下がりが起こり、これは可能な最大回数であると同時に、要求される 9 回にちょうど等しい。惹かれるが誤った推測は $9A=999999999$、すなわち $A=111111111$ である——桁和は正しいが、桁がすべて同じなので相異なるという条件を満たさない。この惜しい例こそ、答えが 0 にならない理由を示している。条件を満たす積の形は $8888888889$ のようなものであって、9 が並んだものではない。