5の倍数である4桁の数の各位の数字を逆順に並べると、再び4桁の数になる。もとの数から逆順の数を引くと 1458 になる。この性質をもつ数を1つ求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の数を位取りの形で書く。 各位の数字を $a,b,c,d$ とすると、もとの数は

   $N=1000a+100b+10c+d,\qquad a\neq 0$

   であり、逆順の数は

   $N'=1000d+100c+10b+a$

   である。数字についての言明を算術の式に翻訳することがこの問題のすべてで、これ以降は定型的な計算にすぎない。

2. 2

   2つの条件から一の位を確定する。 $5$ で割り切れることから $d\in\{0,5\}$ である。しかし逆順の数も4桁でなければならないので、その先頭の数字 $d$ が $0$ になることはない。よって

   $d=5$

   ここが問題の決め手である。$d=0$ なら逆順にしたとき高々3桁に潰れてしまう。

3. 3

   引き算して整理する。

   $N-N'=1000a+100b+10c+5-(5000+100c+10b+a)$

   $=999a+90b-90c-4995$

   これを $1458$ と等しいと置き、定数項を移項すると：

   $999a+90(b-c)=1458+4995=6453$

4. 4

   1桁の $a$ について調べる。$b-c$ が負でもよいことに注意。 項 $90(b-c)$ は $-810$ から $810$ まで動けるので、$999a$ は $6453$ から $810$ 以内に収まらなければならない。当てはまるのは $a=7$ だけである（$999\cdot 7=6993$ で、$999\cdot 6=5994$ は $459$ 足りないが、これは $90$ の倍数ではない）。$a=7$ とすると：

   $6993+90(b-c)=6453\quad\Longrightarrow\quad 90(b-c)=-540\quad\Longrightarrow\quad b-c=-6$

   ここで $b-c$ が負であることに注意したい。差を $0$ 以上に限って調べてしまうのが、この問題を解けないように見せる罠である。

5. 5

   候補を並べて1つ選ぶ。 $b-c=-6$ となる数字の組は $(b,c)\in\{(0,6),(1,7),(2,8),(3,9)\}$ なので、

   $7065,\quad 7175,\quad 7285,\quad 7395$

   どれも問いの答えになる。最小のものは

   $\boxed{7065}$

6. 6

   検証する。 $7065$ は $5$ で終わるので $5$ で割り切れる。逆順にすると4桁の数 $5607$ になり、

   $7065-5607=1458$

   となって条件を満たす。同じ方法で右辺を $1359$ にすると $999a+90(b-c)=6354$、すなわち $a=6$、$b-c=4$ となり、その最小解は $6405$ である。