12 の倍数で、各位の数字の積が 25 より大きく 30 より小さい 4 桁の数を 1 つ求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   各位の積としてあり得る値を絞る。 積は $26$、$27$、$28$、$29$ のいずれかでなければならない。それぞれについて、$1$ から $9$ までの数字 4 つの積になり得るかを調べる（数字に 0 があれば積は $0$ になってしまう）：

   $26=2\times 13\ \text{— 因数に必要なのは }13,\ \text{これは不可能}$

   $29\ \text{は素数で}>9,\ \text{不可能}$

   $27=3^3=1\times 3\times 3\times 3\ \text{— 原理的には可能}$

   $28=2^2\times 7=1\times 2\times 2\times 7\ \text{または}\ 1\times 1\times 4\times 7\ \text{— 可能}$

2. 2

   12 で割り切れる条件を思い出す。 $12=4\times 3$ で $\gcd(4,3)=1$ なので、この数は両方で割り切れなければならない：

   $\text{下 2 桁が次で割り切れる：}4,\qquad \text{各位の和が次で割り切れる：}3$

3. 3

   各位の積 27 を排除する。 その数字の多重集合は $\{1,3,3,3\}$ と $\{1,1,3,9\}$ であり、各位の和はそれぞれ $10$ と $14$ ——どちらも $3$ の倍数ではない。したがってどう並べても $3$ で割り切れず、まして $12$ では割り切れない。残るのは積 $28$ である。

4. 4

   28 を与える数字の多重集合を処理する。 $\{1,2,2,7\}$ では各位の和が $12$ で $3$ の倍数 $\checkmark$ なので、あとは $4$ で割り切れる条件だけが残る。$\{1,1,4,7\}$ では和が $13$ で $3$ の倍数ではないので、こちらは除外される。$1,2,2,7$ を、下 2 桁が $4$ の倍数（すなわち $12$ か $72$）になるように並べると、答えは全部で

   $1272,\quad 2172,\quad 2712,\quad 7212$

   となる。

5. 5

   1 つを完全に検証する。 $N=1272$ をとると：

   $1272\div 12=106\quad\checkmark$

   $1\times 2\times 7\times 2=28,\qquad 25<28<30\quad\checkmark$

   4 桁の $12$ の倍数をすべてしらみつぶしに調べても、解はこの 4 つだけであることが確かめられる。したがってどれを答えとして挙げてもよい。