3 桁の数の各位の数字がすべて異なる。数字を逆順に並べた数を引くと 396 になる。このような数のうち最小のものを求めよ。

Step-by-step solution

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   引き算を位取りの形で書く。 各位の数字を $a$、$b$、$c$ とすると

   $(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$

   となる。十の位が打ち消し合うので、差は百の位と一の位だけで決まる。

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   与えられた差を数字の条件に直す。

   $99(a-c)=396\ \Longrightarrow\ a-c=4$

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   上の位から順に最小化する。 数をできるだけ小さくするには、まず $a$ をできるだけ小さくする。$a=c+4$ かつ $c\ge 0$ なので、許される最小の選び方は

   $c=0,\qquad a=4$

   である。これより小さい $a$ にすると一の位が負になってしまう。

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   各位が異なるという条件を保ちつつ十の位を最小にする。 数字 $4$ と $0$ はすでに使われているので、$b$ は $4$ でも $0$ でもいけない。次に小さい使える数字は

   $b=1\ \Longrightarrow\ N=410$

   である。

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   引き算を検証する。 $410$ を逆順にすると数字の並びは $014$、すなわち数としては $14$ である。

   $410-14=396\quad\checkmark$

   数字 $4$、$1$、$0$ はすべて異なる $\checkmark$。同じ問いで最大を求める版と比べてみるとよい。最小化ではなく最大化すれば $985$ になる——どちらでも中心にあるのは $a-c=4$ という条件である。